http://profbeckman.narod.ru/
9. СИСТЕМЫ И ЗАКОНЫ ИХ ЭВОЛЮЦИИ
Система – множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом,
которое образует определённую целостность, единство.
Все известные системы можно подразделить на статические и динамические
(консервативные и динамические), а математические модели, описывающие их эволюцию во времени, – на статические и динамические. При этом процессы эволюции могут быть обратимыми и необратимыми, системы открытыми или закрытыми, а математический аппарат - линейным или нелинейным.
Термин нелинейная динамика может ввести в заблуждение: можно подумать, что динамика отрицает статику, а нелинейность отрицает линейность. Это конечно не так, динамика включает статику, как свой базовый компонент, а нелинейная математика включает линейную, как частный случай и, к тому же, при моделировании реальных систем нелинейная математики быстро скатывается к линейный. Нелинейный мир включает линейный, изучает системы, как простые, так и сложные, как находящиеся в покое, так и эволюционирующие в пространстве и времени.
В данной главе нелинейная динамика рассматривается как общая наука, исследующая процессы в системах произвольного типа, приводящие как к упрощению, так и усложнению структур.
9.1 Статические системы
Все известные к настоящему времени системы можно классифицировать с точки зрения их распределенности во времени, их структуры во временном пространстве.
Статическая система – вырожденный случай временно распределенной системы. Все элементы статической системы находятся в одном пространственно-временном срезе. Свойства статической системы определяются исключительно пространственной структурой и природой связей между элементами, которые (и структура, и связи) не меняются со временем. Системообразующими элементами статических систем являются пространственно локализованные (точечные) объекты. Вступая во взаимодействие между собой, они образуют фиксированные связи, определяя тем самым структурустатических систем, которая и является их системообразующим фактором.
Стационарная система может быть представлена как совокупность последовательных во времени статических систем – фиксированных структур, которые и являются ее системообразующими элементами. Для описания стационарной системы уже недостаточно оперировать ее качествами в единичном временном срезе, она необходимо представляется несколькими точками на временной оси, соответствующими переходам из одного статического состояния в другое. Специфику стационарной системы определяют переходы между ее статическими состояниями, т.е. между реализуемыми ею структурами. Именно переходы можно выдвинуть на роль системообразующих факторов стационарных систем.
Система называется статической, если множества {А}, {R} и {Р} не меняются с течением времени. Неизменность {А} и {Р} означает постоянство состава системы (и структуры) и поля её свойств. Статические модели используются для описания структуры системы, для выяснения из каких объектов она состоит, как эти объекты связаны с друг с другом и каковы свойства этих объектов. Статическая модель – “фотография” существенных свойств системы в некоторый момент времени.
Статика (στατός, «неподвижный») – раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов. В настоящее время понятие статики вышло далеко за пределы механики. Обычно под статикой понимают состояние системы в равновесии.
http://profbeckman.narod.ru/
Статическая система – система, в которой значения входных и выходных переменных постоянны во времени; функционирует в установившемся режиме; обладает мгновенной реакцией на входное воздействие; реакция на входное воздействие не зависит от предыстории, от поведения системы в прошлом, а также от предыдущих значений входа. Статические модели относятся к объектам, практически неизменяющимся во времени или рассматриваемым в отдельные временные сечения. Описывается алгебраическим уравнением y=f(x1,x2,...,xn). Примеры статических моделей: карта местности, схема персонального компьютера, перечень планет Солнечной системы с указанием их массы; зависимость длительности технологической операции от затрат ресурсов, организационная структура учреждения и др.
Статическая характеристика – зависимость между входной и выходной величинами в установившемся режиме. Может быть представлена и математической моделью вида Y=F(X) и графической моделью.
Статические (структурированные) процессы - неизменные по форме процессы, а также процессы, протекающие в длительный период времени. Поскольку структура таких процессов известна заранее, их можно описать простым алгоритмом.
Пусть u(t), y(t) – вход и выход системы в момент t. У статической системы для каждого t выход y(t) можно определить однозначно по значению u(t) в тот же момент времени. Для этой цели служит статическая характеристика у=f(u) или у=f(u,t) (для нестационарных систем). В соответствии с ней получаем y(t)=f(u(t)).
Статическая система может быть равновесной и неравновесной.
Неизменность равновесной системы достигается за счёт нескольких процессов, идущих в противоположных направлениях и уравновешивающих друг друга. Примерами могут служить система «вода – насыщенный пар», равновесие в которой достигается процессами испарения и конденсации; экологическая система с равновесием хищных и нехищных животных; система «человек» или «животное» с уравновешивающими друг друга процессами ассимиляции и диссимиляции; предприятие или целое государство, в которых сбалансированы доходы и расходы.
Статичность системы не означает отсутствие в ней процессов.
Математические модели статических систем могут характеризоваться постоянными или переменными параметрами, быть линейными или нелинейными, дискретными или непрерывными.
9.2 Динамические системы
Теория динамических систем не относится к физическим феноменам, это - математическая теория, концепции и методы которой применимы к достаточно широкому диапазону явлений, включая хаос.
Динамика (сила, мощь) – состояние движения, ход развития, изменение какого-либо явления под влиянием действующих на него факторов. В механике динамика противопоставляется кинематике.
Динамическая система – система, выходные сигналы которой в данный момент времени определяются характером входных воздействий в прошлом и настоящем (состояние системы зависит от предыстории); множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы; система, эволюционирующая во времени; любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния, как совокупности некоторых величин в некоторый момент времени, и задан закон, описывающий эволюцию начального состояния с течением времени.
Динамическая система – система любой природы (физическая, химическая, биологическая, социальная, экономическая и т.д.), состояние которой изменяется (дискретно или непрерывно) во времени. С математической точки зрения, динамическая система уравнений, где выход одного уравнения образует является входом другого.
http://profbeckman.narod.ru/
Замечание. В первое время под термином динамическая система понимали механическую систему с конечным числом степеней свободы. Состояние такой системы характеризуется ее положением (конфигурация, местоположение) и скоростью изменения этого положения, тогда как закон движения описывает скорость изменения состояния системы.
Динамические системы бывают физическими, биологическими, химическими и т.п., а так же могут быть вычислительными процессами, процессами преобразования информации и др.
Динамическая модель – математическая модель, в которой в той или иной форме раскрываются причинно-следственные связи, определяющие процесс перехода системы из одного состояния в другое.
Примеры: набор формул небесной механики, описывающий движение планет Солнечной системы, движения маятника в часах, развития популяции зайцев в лесу, изменений температуры в течение суток, динамику извержения вулкана, изменения спроса на какой-либо товар под влиянием рекламы, изменения температуры электроплиты при её включении, описание процесса изменения показателей эффективности за некоторый период времени и т.п.
Элементами динамической системы являются последовательные состояния некой пространственной структуры, которая она определена как система (обладает специфическими системными качествами) находящаяся в движении, как непрерывная последовательность (поток) переходовс. В качестве системообразующих элементов динамической системы выступают переходы. Поскольку они определены как переходы между структурами, то динамической системе в каждый момент времени можно поставить в соответствие вполне определенную структуру – конкретное взаимное положение пространственных элементов и определенные связи между ними. Однако, структура, соответствующая единовременному срезу динамической системы, вообще не является пространственной (статической) системой, т.е. не обладает системными качествами и не может существовать вне динамической системы, вне процесса, (что и отличает динамические системы от стационарных – последние в промежутках между переходами представляют собой полноценные статические системы). Системообразующим фактором динамической системы является процесс как взаимосвязанная, имеющая конкретное направление последовательность переходов.
Наглядно во временном отображении динамическую систему можно представить как отрезок на временной оси (в отличие от точки или нескольких точек, соответствующих статической и стационарной системам). Это графическое изображение призвано подчеркнуть исключительную распределенность во времени системы: динамическая система как таковая не может быть зафиксирована во временной точке, а лишь исключительно на некотором временном промежутке, равном длительности (периоду) процесса.
Совокупность процессов интерпретируется как функциональная система. Системообразующими элементами функциональной системы являются согласованно взаимодействующие динамические системы, т.е. направленные процессы. На временной оси функциональная система представлена уже не линейной последовательностью точек процесса (отрезком), а параллельными процессами, объединенными в некую совокупность
– действие, с однозначно выделенными как минимум двумя точками синхронизации процессов, задающими границы действия: событиями его начала и завершения – результата. Именно наличие этих точек синхронизации процессов позволяет представить функциональную систему как некий самостоятельный феномен, систему во временном пространстве, обладающую свойствами, не сводимыми к совокупности качеств ее элементов (процессов динамических систем). В качестве примеров функциональных систем можно привести совокупность процессов в нейронных сетях головного мозга, действия биологических организмов.
Функциональная система имеет пространственное отображение — совокупность структур составляющих ее динамических систем (процессов). Однако это отображение
http://profbeckman.narod.ru/
случайно, однозначно не фиксировано (отдельные динамические системы не объединены «жесткими» пространственными связями), оно формируется и сохраняется лишь в процессе функционирования системы. Временные границы функциональной системы определены не формально, как у динамической системы, в которой они задавались продолжительностью процессуального цикла, а конкретно и содержательно – между двумя событиями: началом и результатом действия.
Система считается динамической, если она эволюционирует во времени и/или пространстве. Она характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое. Состояние динамической системы в любой момент времени описывается множеством вещественных чисел (или векторов), соответствующим определённой точке в пространстве состояний. Эволюция динамической системы определяется детерминированной функцией, определяющей время, когда система примет конкретное состояние, зависящее от предыдущего.
Пример: погода (температура, влажность, атмосферное давление взаимодействуют друг с другом, вызывая шторм).
Влюбой момент времени динамическая система имеет состояние, заданное набором действительных чисел (вектором), которое может быть представлено точкой в соответствующем пространстве состояний (геометрическое многообразие). Закон эволюции динамической системы – это функция, описывающая, какие состояния будущего следует из текущего состояния. Часто функция детерминирована, т. е. для данного временного интервала из текущего состояния следует только одно будущее состояние. Детерминированная эволюция обратима, если каждое состояние имеет единственный прецедент (прообраз).
Некоторые системы являются стохастическими (случайными), поскольку случайные события также влияют на эволюцию переменных состояния. Динамическая система считается случайной, если существует вероятностное распределение последующих событий (идеализированный бросок монеты имеет два последовательных результата с равной вероятностью для каждого начального состояния: орёл и решка).
Вфизике под динамической системой понимают частицу или ансамбль частиц, состояние которых изменяется со временем, подчиняясь дифференциальным уравнениям
спроизводными по времени. Для предсказания будущего поведения системы, проводится аналитическое решение таких уравнений или их интеграция методом компьютерного моделирования.
Теория динамических систем важна для таких наук, как математика, физика, биология, химия, инженерия, экономика, и медицина. Динамические аспекты являются фундаментальной частью теории детерминированного хаоса, логистических отображений, теории бифуркаций и катастроф, самоорганизации и т.п.
Концепция динамической системы представляет собой некое формальное «правило», описывающего зависимость от времени положения точки в окружающем её пространстве. В математике таких «правил» много: различные варианты выбора времени измерения и особые свойства окружающего пространства могут дать представление об обширности класса объектов, описанных в этом понятии. Время может быть измерено целыми числами, вещественными или комплексными числами или может быть более общим алгебраическим объектом, потерявшем память о своём физическом происхождении, а окружающее пространство может быть просто множеством без необходимости без введения гладкой пространственно-временной структуры.
Известны два подхода к описанию динамической системы и её эволюции: геометрический (топологический) и эргодический (вероятностный). Геометрический (топологический) подход к динамике (аналогичен качественной теории дифференциальных/разностных уравнений), направлен на изучение асимптотических геометрических свойств фазовой структуры динамической системы. Он используется при изучении низкоразмерных систем (системы с дискретным и непрерывным временем, с
http://profbeckman.narod.ru/
одной или двумя переменными). Однако для исследования систем больших размерностей эргодический подход, основанный на теории вероятностей и нацеленный на исследование статистических свойств фазовых траекторий, более эффективен.
Протекание динамических (неструктурированных) процессов зависит от индивидуальных условий, в которых они протекают. Уравнения, описывающие динамические процессы, содержат так много переменных, что моделирование практически невозможно, невозможно подобрать чёткий алгоритм расчётов.
Отличие статических и динамических моделей заключено в учёте времени: в статике его как бы не существует, а в динамике это основной элемент. Динамические системы характеризуются тем, что их выходные сигналы в данный момент времени определяются характером входных воздействий в прошлом и настоящем (зависит от предыстории). В противном случае системы называют статическими. Динамическая модель описывает неустановившийся режим работы изучаемого объекта. Динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.
В термодинамике помимо статического и динамического рассматривают и квазистатический процесс.
Квазистатический процесс – идеализированный процесс, состоящий из непрерывно следующих друг за другом квазистатических состояний, в которых характеризующие систему термодинамические величины за время наблюдения не изменяются. Если каждое такое квазистатическое состояние системы близко к состоянию равновесия и, следовательно, систему в каждый момент времени можно считать находящейся в термодинамическом равновесии, то такие процессы называют равновесными, или, точнее,
квазиравновесными
Примеры: изохорный, изобарный, изотермический, адиабатический процессы.
Любой обратимый процесс обязательно является квазистатическим, однако обратное неверно. Квазистатические процессы, связанные с производством энтропии, необратимы. Примером квазистатического процесса, который не является обратимым, является сжатие против системы с поршнем, подверженным трению, – хотя система всегда находится в тепловом равновесии, трение обеспечивает генерацию диссипативной энтропии, что прямо противоречит определению обратимости.
Динамическая система может функционировать в непрерывном или дискретном (квантованном на равные интервалы) времени, в непрерывном или дискретном пространстве. Все объекты, переменные которых (включая, при необходимости, время) могут принимать несчётное множество сколь угодно близких друг к другу значений, называются непрерывными или континуальными. Подавляющее большинство реальных физических и теоретических объектов, состояние которых характеризуется только макроскопическими физическими величинами (температура, давление, скорость, ускорение, сила тока, напряженность электрического или магнитного полей и т.д.) обладают свойством непрерывности. При модельном описании таких объектов используется аппарат дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Модели, у которых входные и выходные переменные являются непрерывными по времени и по величине, называют непрерывными. Объекты, переменные которых могут принимать некоторое, практически всегда конечное число наперёд известных значений, называются дискретными. Модели, у которых входные и выходные переменные дискретны или по времени, или по величине, называют дискретными. Основой формализованного описания дискретных объектов является аппарат математической логики (логические функции, аппарат булевой алгебры, алгоритмические языки, конечно-разностные уравнения).
В системах с дискретным временем (каскад, отображение) поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем (фазовые потоки), состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или
http://profbeckman.narod.ru/
комплексной оси. Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения.
Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство, множество моментов времени и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени может быть как интервалом вещественной прямой (время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек (орбита). Положениям равновесия соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые – его периодическим решениям.
Динамическая модель стационарна, если свойства преобразования входных переменных не изменяются со временем. Стационарность объекта – неизменность его структуры и параметров; он описывается выражением, которое включает в себе только постоянные коэффициенты. Объект может считаться стационарным, если его параметры меняются медленно по сравнению со временем, которое требуется для идентификации объекта. Нестационарность может иметь место относительно параметров, относительно структуры и одновременно. Чаще имеет место нестационарность относительно параметров, т.е. рассматривается объект с переменными коэффициентами. Общей теории и математического аппарата для описания существенно нестационарных объектов переменной структуры не существует.
Различают детерминированные и стохастические (вероятностные) модели.
Детерминированная система – система, поведение которой можно абсолютно точно предвидеть (точнее – предсказать с точностью, допускаемой экспериментальными погрешностями).
Детерминированный оператор позволяет однозначно определить выходные переменные по известным входным переменным. Детерминированность модели означает лишь неслучайность преобразования входных переменных, которые могут быть как детерминированными, так и случайными. Состояние динамической системы в любой момент времени описывается множеством вещественных чисел (или векторов), соответствующим определённой точке в пространстве состояний. Динамическая система представляет собой такую математическую модель процесса, в которой пренебрегают «флуктуациями и всеми другими статистическими явлениями».
Стохастическая система – система, состояния которой зависит не только от контролируемых, но и от неконтролируемых воздействий или если в ней самой находится источник случайности. Последствия случайных процессов в сложных средах с большим числом степеней свободы можно прогнозировать только с некоторой степенью вероятности.
Если в модели среди величин имеются случайные, т.е. определяемые лишь некоторыми вероятностными характеристиками, то модель называется стохастической (вероятностной, случайной). В этом случае и все результаты, полученные при рассмотрении модели, имеют стохастический характер. Стохастический оператор позволяет определить по заданному распределению вероятностей входных переменных и параметров системы распределение вероятностей входных переменных.
При стохастическом подходе нельзя судить как будет развиваться конкретное проявление процесса. Однако если процесс наблюдается часто, то, не имея возможности предсказать конкретное течение процесса, можно делать заключения о его основных особенностях (нельзя точно сказать, какая погода будет в Москве в 7-го июля следующего года, но всё же днём +25о вероятнее, чем -25о). Такая информация мало полезна обывателю, но важна для городского хозяйства.
http://profbeckman.narod.ru/
Граница между детерминированными и стохастическими моделями довольно расплывчата. Удобный практический приём состоит в том, что при малых отклонениях от фиксированных значений модель считается детерминированной, а отклонение результата исследуется методами оценок или анализа её чувствительности. При значительных же отклонениях применяется методика стохастического исследования.
Вполне детерминированные системы (системы без стохастических компонент) малых размеров (небольшое число переменных) и с простыми нелинейностями (например, с одной квадратичной функцией) могут проявлять стохастическое (случайное) поведение. Это означает, что даже, если параметры исходного состояния хаотических систем измерены с хорошей точностью, новое состояние оказывается совершенно случайным, и предсказать его заранее невозможно.
Основное содержание теории динамических систем – исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств.
Задача предсказания поведения изучаемой системы во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени в некоторой точке пространства определить его будущее в любой следующий момент времени. В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным, может описывать эволюцию объекта только во времени, только в пространстве, а может описывать пространственно-временную эволюцию.
Моделирование эволюции динамической системы сводится к решению дифференциального уравнения и построению двух графиков: графика изменения возмущения во времени и графика реакции выхода на это возмущение – графической зависимости изменения выхода во времени. Процессы, протекающие в сложных системах, характеризуются большим числом параметров (в том смысле, что соответствующие уравнения и соотношения аналитически не могут быть разрешены). Модель считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно её состояние, и указан закон эволюции.
Динамическая система это набор параметров + оператор её эволюции во времени на пространстве состояний. Динамическая система состоит из абстрактного фазового пространства (пространства состояний), координаты которого описывают состояние в любой момент, и динамического правила, определяющего непосредственное будущее всех переменных состояния, учитывая только настоящие значения тех же переменных состояния. Например, параметры состояния маятника - его угол и угловая скорость, а правило эволюции - уравнение Ньютона F=ma.
Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно её состояние, и указан закон эволюции. Методы описания эволюции динамических систем довольно разнообразны: дифференциальные уравнения, дискретные отображения, теория графов, теория марковских цепей и т.п.
Свойства динамической системы задаются динамическими характеристиками.
Динамическая характеристика – реакция системы на возмущение (зависимость изменения выходных переменных от входных и от времени).
Обычно состояние системы задается некоторым набором чисел (фазовых координат) и представляет собой область в многомерном пространстве или многообразие. Эволюция системы представляется как движение точки фазового пространства.
Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство X, множество моментов времени t и некоторое правило, описывающее движение точек
http://profbeckman.narod.ru/
фазового пространства со временем. Множество моментов времени t может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой.
Теория динамического процесса базируется на системе уравнений, где выход одного уравнения является частью входа другого. Модель динамической системы задана, если определены параметры, характеризующие состояние системы, и указан оператор, позволяющий установить изменение координат во времени.
Динамическая система – совокупность трёх объектов:
1. Фазовое пространство (пространство состояний), представляющее собой некое развивающееся во времени множество X, элементы которого определяют конкретные состояния системы. Фазовое пространство в общем случае – топологическое пространство. Измерение расхождения между разными состояниями требует введения расстояния, тогда X – метрическое пространство.
2.Время (набор времён), которое может быть дискретным или непрерывным.
3.Закон эволюции, позволяющий определить состояние системы в момент времени t. Динамические системы подразделяются на консервативные и диссипативные.
Консервативные системы характеризуются неизменным запасом энергии (в механике их называют гамильтоновыми). Они не имеют притягивающих областей в фазовом пространстве, т. е. в них, их фазовый объём постоянен и невозможны ни асимптотически устойчивые неподвижные точки, ни предельные циклы, ни странные аттракторы.
Динамические системы с изменяющимся во времени запасом энергии называются неконсервативными. Системы, в которых энергия уменьшается во времени из-за трения или рассеяния, называются диссипативными. В отличие от консервативных, диссипативные динамические системы, характеризуются сокращением во времени объемов фазового пространства. Системы, в которых энергия во времени нарастает, называются системами с отрицательным трением или отрицательной диссипацией. Такие системы можно рассматривать как диссипативные при смене направления отсчёта времени на противоположное.
Динамические системы называются автономными, если они не подвержены действию внешних сил, переменных во времени. Уравнения автономных систем явной зависимости от времени не содержат.
Динамические системы могут описываться линейными или нелинейными уравнениями, динамика таких систем может быть как регулярной, так и стохастической. Возможны системы с непрерывным и дискретным временем. Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и неавтономные. Особый класс динамических систем включает автоколебательные системы.
Динамические системы классифицируют по виду операторов: линейные и нелинейные. Для линейных систем реакция на сумму двух иди более различных воздействий эквивалентна сумме реакций на каждое возмущение в отдельности, для нелинейных – это не выполняется. Существуют системы с непрерывным и дискретным временем (потоки и каскады); колебательные системы (линейные и нелинейные, сосредоточенные и распределённые, автономные и неавтономные, автоколебательные); консервативные (гамильтоновы) и неконсервативные.
Важным объектом исследования является сосредоточенная динамическая система.
Сосредоточенная (точечная) система – динамическая система, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений.
http://profbeckman.narod.ru/
Сосредоточенность или распределённость характеризуют объекты с точки зрения роли, которую играет в их описании пространственная протяженность. Если пространственной протяженностью объекта можно пренебречь и считать, что независимой переменной является только время, говорят об объекте с сосредоточенными параметрами. Описание протяженных объектов требует учёта не только времени, но и пространственных координат. Объекты с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.
Распределённая система – система, для которой отношения местоположений элементов (или групп элементов) играют существенную роль с точки зрения функционирования системы, а, следовательно, и с точки зрения анализа и синтеза системы. Для распределённых систем характерно распределение функций, ресурсов между множеством элементов (узлов) и отсутствие единого управляющего центра, поэтому выход из строя одного из узлов не приводит к полной остановке всей системы. Типичной распределённой системой является Интернет.
Распределённые системы в физике – системы, динамические характеристики которых (например, масса и упругость в механических системах, индуктивность и ёмкость в электрических) несосредоточены (только) в точечных элементах, а распределены тем или иным образом непрерывно по пространству, поверхностям, линиям и т.п., в противоположность дискретным системам.
Распределенная во времени (временно-распределенная) система – это система, элементы которой не находятся (не наблюдаемы) в единовременном пространственном срезе, а составляют временную последовательность.
Динамика сложных систем, как правило, описывается системой нелинейных уравнений, однако практическая реализация такого подхода встречает непреодолимые трудности, поскольку нелинейные динамические системы в целом не имеют замкнутой формы решения. Для хотя бы частичного преодоления таких трудностей приходится прибегать к линеризации нелинейных уравнений. Преимущество линейных динамических систем состоит в том, что могут быть решены точно (аналитически). Линеаризация используется для понимания поведения динамических систем, путём расчёта точек равновесия системы и приближения её в виде линейной системы вокруг каждой такой точки.
Для описания эволюции простых динамических систем достаточно знать траекторию их развития, но большинство динамических систем слишком сложны для понимания в терминах отдельных траекторий. Трудности возникают по разным причинам.
Изучаемые системы могут быть известны лишь приблизительно – параметры описывающих их уравнений могут быть не определены, а некоторые вообще отсутствовать. Используемые аппроксимации могут вызывать сомнение в обоснованности или актуальности численных решений. Для преодоления таких трудностей были введены несколько понятий устойчивости, например, устойчивость по Ляпунову и структурная устойчивость. Устойчивость динамической системы подразумевает, что существует класс моделей и начальных условий, для которых траектории будут эквивалентны. Операция сравнения траекторий с целью установления их эквивалентности подбирается с учетом различных понятий устойчивости.
Тип траектории может быть более важным, чем сама конкретная траектория. Некоторые траектории могут быть периодическими, тогда как другие блуждают по многим различным состояниям системы. Классификация всех возможных траекторий привела к качественному изучению динамических систем, т. е. свойств, которые не меняются при изменении координат.
Поведение траекторий в зависимости от величин параметра важно для приложений. При изменении параметра динамические системы могут встретиться точки бифуркации, в которых изменяется качественное поведение динамической системы. Пример: переход от периодического движения жидкости к беспорядочному поведению, турбулентности.