http://profbeckman.narod.ru/

21.ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

Впредыдущей главе мы рассмотрели процессы возникновения хаоса в одномерных нелинейных отображениях, где нелинейность задаётся квадратичным (одномодальное отображение) или кубическим (бимодальное отображение) отображением первого порядка. Намного большим разнообразием обладают хаотические процессы в двумерных и трёхмерных отображениях, второго и более высокого порядков, содержащие нелинейные члены со степенями 3 и выше.

Двумерные отображения появляются, как правило, при рассмотрении сечения Пуанкаре неавтономного осциллятора (т.е. находящегося под действием внешнего периодического воздействия) с некоторой нелинейностью. В отличие от одномерных отображений с хаотической динамикой двумерные отображения могут обладать свойством обратимости; отображение всегда имеет однозначно определенное обратное отображение (может быть проитерировано в обратном времени произвольное количество раз). Напомним, что одномерного логистического отображения данное свойство не выполняется, т.к. любому xn+1 из области значений соответствует два варианта xn

Вобщем виде линейные отображения на плоскости описываются системой уравнений

сзаданной начальной точки (x0, y0)

Вданной главе мы ограничимся некоторыми простыми примерами.

21.1 Отображение Эно (Henon map)

Если эволюция физической системы описывается несколькими переменными, то возникает проблема решения отображений высоких порядков. Примером является отображение Эно (Хенон, Энон, Michel Henon – французский астрофизик, 1976), которое Эно рассматривал как абстрактный пример динамической системы, обладающей странным аттрактором. Однако оказалось, что это отображение способно описывать динамику ряда физических систем, например, диссипативный осциллятор и ротатор под импульсным периодическим воздействием, а так же динамику частицы в вязкой среде под действием импульсных толчков, интенсивность которых зависит от координаты (периодически возбуждаемый ротатор при нулевом затухании и малых амплитудах). Это же отображение привлекается к расчёту численности популяции в экосистеме. Так, если при выводе логистического уравнения (одномерного отображения) предполагалось, что численность популяции в (n+1)-ый год зависит лишь от численности в n-ый год, то отображение Эно, память о системе распространена глубже: учитывается, что численность особей в (n+1)-ый год зависит и от численности в (n-1)-ом году. Эта зависимость довольно слабая, поэтому полагают, что она линейна.

Замечание. Эно развивал идеи Лоренца, который открыл первый странный аттрактор в 1963 году. Это аттрактор вызвал большой интерес и многочисленные исследования, которые весьма сложны, поскольку система Лоренца включает 3 уравнения. Эно существенно упростил ситуацию, поскольку в его системе всего 2 очень простых уравнения. Поэтому моделирование потоков вблизи бифуркаций седлоузел и изучение динамики перехода к детерминированному хаосу путём растяжения и складывания сейчас предпочитают изучать именно на отображении Эно.

Отображение Эно (представляющее целый класс двумерных отображений с квадратичным максимумом) приводит к обычному каскаду удвоения периода, но постоянные Фейгенбаума в этом случае больше, чем для одномерных отображений.

Отображение Эно описывает, в частности, простую механическую систему (рис.1): Двумерное квадратичное обратимое отображение (дискретное время) Эно было

записано сначала в виде:

Рис. 1. Простая динамическая система, динамику которой способно описать отображение Эно. Вдоль оси х способна двигаться частица массы m; её движению препятствует сила трения, пропорциональная скорости, f=-kv. На частицу действуют с периодом Т импульсные толчки, интенсивность которых зависит от координаты частицы в момент толчка, т.е.

передаваемый импульс даётся функцией Р(х).

Рис. 2. Колебания в системе Эно.

Замечание. В настоящее время отображение

Эно часто записывают в виде xn+1=1-axn2-yn,

yn+1=bxn.

что приводит к изрядной путанице в знаке yn. Важно понимать, что оба выражения идентичны, если b=- .

Под отображением Эно иногда имеют ввиду xn+1=-k+xn2+yn,

yn+1=-bxn.

Здесь =1 и появился новый параметр -k. Мы такой формой заниматься не будем, хотя она по-своему интересна.

Обобщение отображения Эно имеет вид xn+1=1-axn2+yn,

yn+1=bxnk.

в котором наблюдается несколько форм бифуркаций. Им мы тоже заниматься не будем.

где х и у – динамические переменные, и - параметры отображения.

Это простое уравнение приводит к весьма сложной динамике, полное описание которой составит толстый том.

Отображение Эно способно к хаотической динамике. Оно рассматривается как упрощённая модель применения сечения Пуанкаре к аттрактору Лоренца. Для классического отображения начальная точка плоскости будет либо приближаться к множеству точек, известных как странный аттрактор Эно, либо расходиться в бесконечность. Аттрактор Эно является фрактальным, гладким в одном направлении и канторовом множеством в другом в другом. Корреляционный размер 1,25±0,02, а размерность Хаусдорфа 1.261±0.003.

Замечание. Аттрактор Эно, возникающий в интервале ( , )=(1.4, 0.3) часто относят к странным аттракторам. Однако до сих строгих доказательств не получено. Фрактальность и

http://profbeckman.narod.ru/

хаос не обязательно свидетельствует о странности. Есть мнение, что аттрактор Эно в сущности апериодический рекуррентный аттрактор. Возможно, аттрактор Эно - результат нескольких длительных притягивающих устойчивых циклов.

Рис. 3. Этапы построения H(x, y) из (x, y) начиная с =1,4 и =0,3.

При =0 отображение Эно переходит в логистическое квадратичное отображение, так что эти отображения должны иметь некоторые общие свойства. Однако в отличие от логистического, отображение Эно обратимо; существует единственное значение для хn и уn, соответствующее каждому хn+1 и уn+1.

При | |<1 отображение Эно представляет собой диссипативную структуру (энергия системы рассеивается). Если у логистического отображения, как и любого другого одномерного отображение аттрактор не имеет фрактальных свойств (хотя бифуркационная диаграмма фрактальна), то аттрактор двумерного отображения Эно фрактален.

При 1 – это отображение, сохраняющее площадь, т.е. консервативная система.

Рис. 4. Карта динамических режимов на

плоскости параметров отображения Эно (1):

аттрактор при =1,4 и =0,3. Результат

повторной итерации. Этот граф больше, чем

линия, но меньше поверхности. То, что похоже

на одну строку, – это пара строк, каждая из которых, в свою очередь, представляет собой

еще одну пару строк и т. д.

Обобщение отображения Эно на большие размерности приводит к отображения подковы (Смейла) и пекаря.

Отображение Эно зависит от двух параметров: и . При значениях =1,4 и =0,3, отображение хаотично. Для других значений и отображение может быть хаотичным, прерывистым или сходиться к периодической орбите.

Показатель Ляпунова =0,42. При =1,25 отображение Эно имеет устойчивую периодическую орбиту – аттрактор, структура которого, видимо, состоит из неустойчивых периодических орбит внутри аттрактора.

Рис. 5. Аттрактор отображения Эно для =1,4 и

=0,3. Аттрактор с фрактальной структурой – красные кривые), устойчивый многообразие неподвижной точки на аттракторе – зеленые кривые. Аттрактор и устойчивое многообразие пересекаются бесконечно и образуют бесконечно тонкую сеть.

Поскольку есть точки касания между аттрактором и устойчивым многообразием, то отображение Эно – негиперболическая динамическая система.

http://profbeckman.narod.ru/

На рис. 3а представлен результат первых двух этапов построения H(x, y): это точка на параболе y=1-ax2; если мало, конечный результат находится не далеко от этой точки. Образ прямоугольника строится аналогично (рис. 3б).

При =1,4 и =0,3 при итерациях H(х,у) заданная начальная точка либо уходит в бесконечность, либо приблизится к довольно нечетной кривой – аттрактору. Кривую можно увидеть только при наличии большого количество точек в траектории, проходящей через начало координат (0,0). Аттрактор притягивает точки (но не все), устойчив и имеет сложную структуру. Он представляет собой набор очень тонких кривых, располагающихся в нескольких слоях. Сечение нескольких слоев выглядит как множество Кантора, причём каждый слой похож на параболу, вложенную в другие слои.

Рис. 6. Притяжение изображающих точек к

"конденсируется" на некоторые предельные объекты

– аттракторы динамической системы (рис. 6). Процесс "конденсации" изображающих точек на аттрактор занимает некоторое время. В конце концов они притягиваются к некоторой сложной слоистой

структуре. Аттрактор Эно состоит из отдельных "нитей" и областей пустого пространства, причем каждая нить в свою очередь имеет аналогичную тонкую структуру, т.е. аттрактор обладает фрактальными свойствами (самоподобен).

Динамику отображения (2) анализируют на фазовой плоскости двух переменных (x, y), задавая значения двух управляющих параметров и . Параметр характеризует степень диссипативности отображения (2), 0< <1. Обычно его фиксируют на уровне =0.3.

Параметр отвечает за нелинейность.

Рис. 7. Две области пространства для отображения Эно при =0,2 и =1,01 , цвет которых отражает число итераций.

решения, которые и определяют координаты неподвижных точек отображения (2):

Рис. 8. Эволюция точки (0,0) для параметров (0,2, 0,9991) (слева) и (0,2, - 0.9999) (справа).

http://profbeckman.narod.ru/

(т.е. х1*) всегда стабильна, а точка с отрицательным радикалом всегда неустойчива. Точки х* могут быть либо притягивающими, либо седловыми. Это определяется значениями параметров и .

Рис. 9. Зависимость собственных значений неподвижных точек отображения Эно от параметра (здесь

=0,3).

Если =1,4, а =0,3 то отображение Эно проявляет хаотическое поведение и стремится к странному аттрактору. При этих значениях параметров первая точка равновесия имеет координаты х1*=-1,13135,

у1=-0,339406, а вторая – координаты х2*=0,631354 и у2=0,189406. Собственное значение для первой неподвижной точки {2,25982, -1,09203}, а для второй {-2,92374, -0,844054}. От сюда следует, что первая точка – это седло, а вторая –устойчивая точка.

неподвижные точки (как и у логистического отображения): устойчивая и неустойчивая. Это результат касательной (т.е. седло-узловой) бифуркации. Две неподвижные точки

удвоения периода. Если =0, то =3/4=0,75 - это значение, при котором неподвижная точка теряет устойчивость (бифуркация седло-узел) и рождается 2-цикл. Первая и вторая итерации отображения Эно проявляют бифуркацию Хопфа при =-0,982051 и =2,48205, если =- 1.

Рис. 10: Фазовые портреты хаотических аттракторов в системе Эно при последовательных бифуркациях связанности

при =0.3 для =1.06 (а), =1.07 (б), =1.086 (в), a=1.16 (г).

Собственные значения или мультипликаторы неподвижных точек находятся из решения характеристического уравнения

Собственные числа для каждой из двух неподвижных точек

http://profbeckman.narod.ru/

При →0 неподвижные точки «уходят» на бесконечность. Зафиксируем параметр =0.3 и проанализируем характер устойчивости неподвижных точек при изменении параметра >0. При 0 неподвижные точки разбегаются в бесконечность, при этом

Точка с координатами (x2 , y2 ) является седлом для любых , так как один из ее мультипликаторов всегда положителен и больше 1, а второй − отрицателен и близок к 0. Это означает, что по первому направлению траектория монотонно расходится, а по другому направлению отклонение убывает, меняя знак на каждой итерации.

Мультипликаторы другой неподвижной точки с координатами (x1 , y1 ) по модулю меньше единицы, что соответствует устойчивому узлу. Эта точка устойчива до =0.3675 когда один из мультипликаторов данной точки достигает значения −1, что соответствует бифуркации удвоения периода и рождению цикла периода 2. По другому направлению точка всегда устойчива, т.к. собственное значение меньше 1. При дальнейшем увеличении параметра цикл периода 2 становится неустойчивым и рождается цикл периода 4 и т.д.

В отображении Эно реализуется каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума. Формирование единого (односвязанного) хаотического аттрактора происходит через последовательность бифуркаций связанности.

Отображение Эно – простейшее отображение, фиксирующее динамику растяжения и складывания хаотических систем. Параметр контролирует величину растяжения, а параметр – толщину складывания. Аттрактор имеет заметную толщину, что позволяет заметить чёткую поперечную фрактальную структуру.

Отображение Эно можно представить как композицию трех преобразований: Т1 – искривление, сохраняющее площадь, Т2 – сжатие в направлении оси ОХ, Т3 – преобразование плоскости в себя поворотом на 90о. Т=Т1 Т2 Т3

Рассмотрим, как на фазовой плоскости происходит формирование аттрактора Эно. В данном случае аттрактор – геометрический объект, получаемый путем ряда геометрических трансформаций, задаваемых отображением Эно. Данное геометрическое преобразование можно проанализировать, разбив его на три этапа.

Рис. 11. Преобразование круга трансформациями Эно.

Обозначим исходное отображение плоскости на плоскость как T: R2 → R2 и представим T в виде трех последовательных трансформаций: Т=Т1 Т2 Т3. Первая трансформация, Т1, отображает точку (x, y) в

ееобраз (x, 1-μx2+y) и представляет собой

искривление, сохраняющее площадь. Вторая трансформация, Т2, отображает (x, y) в (x, y) и соответствует сжатию по x-направлению. Наконец, третья трансформация, Т3, переводит (x, y) в (y, x) и отображает участок поверхности в себя с поворотом на 90 градусов.

Изменение площади, или фазового объема, определяется якобианом

х2*=1/х1, то отображение при итерациях сохраняет площадь (консервативная система). Здесь имеют место две неподвижные точки. 1) гиперболическая точка. Величины х*

http://profbeckman.narod.ru/

действительные, х1>1, следовательно, х2*=1/х1<1, т.е. неподвижная точка неустойчива, т.к. все траектории, не заключённые в устойчивую трубу вдоль собственного вектора е2, уходят от (х*, у*), а для достижения неподвижной точки вдоль е2 требуется бесконечное число итераций и неподвижная точка устойчива, так как каждая точка, попав в её окрестность, остаётся в ней и никогда не

покидает её (рис. ).

Рис. 12. Траектории вблизи гиперболической (седловой) неподвижной точки с собственными векторами е1 и е2.

2)Эллиптическая неподвижная точка. Она

устойчива, так как каждая точка, попав в ее окрестность, остается в ней и никогда не покидает её (рис. 13)

Рис. 13. Траектории вблизи эллиптической неподвижной точки.

На рис. 14 показаны орбиты отображения Эно вблизи устойчивой неподвижной точки и после первой бифуркации.

При 0 в отображении Эно может возникать интересный репеллер: прямоугольная площадь изгибается в подкову Смейла. Если =-1 и значение параметра велико, то согласно (5)

скорость сжатия равна 1, что означает что площадь при трансформации остается постоянной, но её форма меняется: она сильно растягивается. В результате возникает

сложенная подкова.

Рис. 14. Орбиты для отображения Хенона: а)

при =0,95 б) при =3,02.

В случае |J|<1 отображение является в среднем сжимающим, т.е. диссипативным. Только в этом случае можно говорить о наличии у него регулярных или хаотических аттракторов. Предел =0 соответствует предельно сильному сжатию по x-направлению. В этом случае, отображение Эно сводится к одномерному логистическому отображению.

При последовательной итерации отображения Эно повторяющиеся изгибы, сжатия и повороты приводят к формированию на плоскости подковообразного, очень сложно устроенного множества – хаотического аттрактора.

Рис. 15. Подкова Смейла, возникающая при деформации отображения Эно.

В отображении Эно фазовый объём может и уменьшается: при | |<1 имеет место сжимающее отображение. Сжатие множества начальных точек, занимающих некоторую область в плоскости xy, при каждой итерации одинаково (при каждой следующей итерации площадь уменьшается на 30%). Все

ограниченные притягивающие орбиты лежат в интервале |b|<1 и аттрактор обладает нулевой площадью. Отображение можно представить как последовательность трех простых операций: однородного сжатия в b раз в направлении оси y (слева сжатие

http://profbeckman.narod.ru/

опущено, т.е. b=1) x'=x, y'=by, деформации в этом же направлении x'=x, y'=a+x2+y и отражении относительно диагонали y=x: x'=y, y'=x.

Рис. 16. Преобразование прямоугольной области начальных условий под действием системы разностных уравнений второго порядка, называемой отображений Эно, состоящее в вытягивании,

сжатии и складывании, которые приводят к хаотическому поведению ( =1,4, =0,3).

Рис. 15 демонстрирует, как отображение Эно f N переводит квадратную область с вершинами (±3.9, ±3.9) в покову Смэйла. После второй итерации получается двойная подкова. Обратное отображение (при N<0) переводит квадрат в вертикальную подкову.

Точки инвариантного множества (которые не уходят на бесконечность и всегда остаются внутри квадрата) лежат в пересечении двух трансверсальных подков. При каждой последующей итерации внутри любой области пересечения возникает четыре новых пересечения. При N →∞ образуется фрактальный канторов репеллер.

Рис. 17. Отображение подкова Смейла: вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.

При | |<1 отображение уменьшает площади в плоскости x, y. Кроме того, оно вытягивает и изгибает области на фазовой плоскости (рис. 16). В результате этого растяжения, сжатия и изгиба или складывания областей фазового пространства получаются области, напоминающие подкову. Последовательные итерации таких отображений типа подковы приводят к появлению в фазовом пространстве сложных орбит, потере информации о начальных условиях и

хаотическому поведению.

Рис.18. Самоподобие хаотического аттрактора Эно.

Простые отображения способны моделировать сложные движения (рис. 17). После итерации использованного отображения прямоугольная область растягивается в вертикальном направлении и сжимается в горизонтальном и складывания можно получить критерий возникновения хаотических колебаний динамической системы, при которых предсказание будущей эволюции становится чувствительным к начальным условиям.

Общая форма аттрактора повторяет результат преобразования, рассмотренный выше. Однако бесконечное число сжатий и

отображений в себя участка плоскости порождает фрактальную структуру. Выделенный

http://profbeckman.narod.ru/

фрагмент на рис. 18 представляет собой набор точек, лежащих на практически параллельных отрезках прямых линий. Можно различить структуру из 3, 2, и 1 линий. Однако, если увеличить в 10 раз выделенный прямоугольником участок, то его структура оказывается геометрически подобна объекту в целом! Увеличение позволяет увидеть мелкие детали и, оказывается, что рассматриваемые участок фазового портрета повторяет сам себя при подходящем масштабировании. Хаотический аттрактор Эно обладает свойством масштабной инвариантности, что является геометрическим проявлением свойства

самоподобия.

Рис. 19. Хаотические и регулярные режимы в хаотическом режиме

отображения Эно.

Отображение Эно обладает самоподобием, для него фрактальная размерностью, которая является промежуточной размерностями 1 и 2. Следует учесть отличие странного аттрактора, имеющего нецелую размерность, от хаотического аттрактора, проявляющего чувствительность к начальным условиям. Некоторые фракталы абсолютно самоподобны, т.е. при любой степени увеличения они выглядят одинаково. Аттрактор Эно относится к фрактальным структурам, в котором нельзя найти какой-то участок, который при

увеличении масштаба будет выглядеть как миниатюрная карта всего отображения. Отображение Эно самоподобно в статистическом смысле, т.е. увеличенная часть объекта имеет такое же количество деталей, как и целое (о точной копии речи не идёт).

Рис. 20. Зависимость старшего показателя Ляпунова от параметра .

Рассмотрим фазовые портреты притягивающих множеств отображения Эно и бассейны их притяжения.

Рис. 21. Бифуркационная диаграмма для отображения Эно (1) при =0.3:

рождение устойчивого 2-цикла из неподвижной точки и весь каскад бифуркаций удвоения периода, хаос и окна непериодичности в хаосе. Бифуркационное дерево иногда скачком "разбухает" – кризис.

При определенных значениях управляющих параметров отображение Эно может демонстрировать свойство мультистабильности – режим сосуществования двух притягивающих подмножеств на фазовой плоскости. Если менять начальные условия, то наблюдается

чередование двух хаотических режимов. Это подтверждает расчет старшего ляпуновского показателя в зависимости от изменения начальной координаты x при фиксированном y. Максимальный показатель случайным образом «скачет» между двумя положительными

http://profbeckman.narod.ru/

значениями, свидетельствуя о переходах системы с одного хаотического аттрактора на другой.

Рис. 22. Аттракторы, реализующиеся в системе Эно, и структура бассейнов их притяжения на фазовой плоскости

(xn, yn) при =0.3 для =1.078 (а) и для=1.32 (б).

Если сравнить эти результаты с видом структуры бассейнов притяжения, то становится понятно, что изменение начальных условий

приводит к пересечению границ соответствующих бассейнов. Подобно логистическому отображению, в закритической области значений управляющего параметра (в области существования хаотического аттрактора) в отображении Эно также наблюдается чередующуюся картина смены регулярных и хаотических режимов – «окна периодичности».

Первая итерация отображения Эно при достижении параметра значения вблизи=0,2 претерпевает бифуркацию удвоения периода и начинает переход к хаосу (стабильная ветвь на рис. 21). При =0,2 имеют место две неподвижные точки (1,08945, 0,326836) и (-4,58945, -1,376836) при собственных значениях {0,371580, -0,80736213} и {1,986779, -0,1509981} соответственно. Первая равновесная точка – стабильный сток, а вторая – седло. Для тех же значений параметров вторая итерация отображения Эно имеет четыре неподвижные точки, для из которых комплексно сопряжённые. Комплексно сопряженные точки есть сёдла, третья – стабильны сток (аттрактор), а четвёртая – седло.

О наличии областей с периодическими колебаниями свидетельствует и вид зависимость старшего ляпуновского показателя от параметра . На графике рис. 20 видно наличие как положительных, так и отрицательных значений ляпуновского показателя, что свидетельствует о нерегулярном чередовании хаотических и периодических аттракторов в

системе при вариации параметра.

Рис. 23. Фазовая диаграмма отображения Эно при =0,3. Более высокая плотность (более тёмная) указывает на увеличенную вероятность того, что переменная x получит это значение для данного значения a. Сателлитные зоны хаоса и периодичности вокруг a=1,075 - они могут возникать в зависимости от начальных условий для x и y.

В отображении Эно, как и в логистическом отображении, реализуется сценарий перехода к хаосу через последовательность

бифуркаций удвоения периода цикла (сценарий Фейгенбаума). Скорость сходимости бифуркационных значений параметра a определяется универсальной константой Фейгенбаума δ = 4.669201... На рис. 21 приведена бифуркационная диаграмма для отображения (2) при =0.3, которая демонстрирует весь каскад бифуркаций удвоения периода, хаос и окна периодичности в хаосе.