http://profbeckman.narod.ru/

Пусть (X, R, G) – гладкая динамическая система, G = {gt, t R}. Она определяет векторное поле v на X:

определены для всех значений времени, генерирующих динамическую систему, сдвиг по траекториям ОДУ является эволюционным оператором этой динамической системы. Динамические системы с непрерывным временем обычно описываются через соответствующие автономные ОДУ

Неавтономный ODE

Для ОДУ некоторые решения могут определяться только локально во времени, при t-<t<t+, где t-, t+, зависят от начального условия. Важным примером такого поведения является «раздутие», когда решение системы непрерывного времени в X=Rn приближается к бесконечности за конечное время.

Для уравнения ̇= , решение с положительным (или отрицательным) начальным условием при t=0 стремится к + ∞ (соответственно -∞), когда время приближается к некоторому конечному моменту в будущем (соответственно в прошлое). Единственное решение, определяемое для всех времен, равно x≡0. Такие уравнения определяют только локальные фазовые потоки.

9.6 Математическое описание эволюции динамической системы

Основное препятствие в описании динамики нелинейных систем заключается в том, что соответствующие нелинейные уравнения за редким исключением даже в простейших случаях не имеют аналитических решений и могут быть решены только численными методами, что затрудняет математическое моделирование и ставит крест на любые попытки обработки результатов эксперимента. Хуже того есть уравнения (и число их растёт), которые вообще не имеют решения и можно как-то обсуждать лишь методом асимптот.

В простейших случаях состояние системы характеризуются величинами w1,...,wn которые могут принимать произвольные (реальные) значения; два разных набора множеств w1,...,wn и w1,..., wn соответствуют разным состояниям, причём если значения wi

и wi близки для всех i, то соответствующие состояния системы тоже близки. В этом

http://profbeckman.narod.ru/

случае закон движения можно записать как автономную систему обыкновенных

Если величины w1,...,wn есть координаты точки w в n-мерном пространство, то соответствующее состояние динамической системы может быть представлено точкой w. Эту точку назвали фазовой точкой, а пространство – фазовым пространством системы. (Причиной таких названий: раньше значительное внимание уделяли колебательным процессам (маятнику), а там состояние системы обозначалось фазой). Изменение состояния во времени изображается движением фазовой точки по некоторой кривой (фазовой траектории) в фазовом пространстве. В этом пространстве векторное поле определяют, сопоставляя каждой точке вектор f(w) с компонентами

Дифференциальные уравнения (1) могут быть записаны в сокращенной форме как

Они означают, что в любой момент времени вектор скорости движения фазовой точки равен вектору f(w) исходя из w фазового пространства, занятого движущейся фазовой точкой в этот момент времени. Это кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений (1).

Например, состояние частицы без внутренних степеней свободы (материальная точка), движущейся в потенциальном поле с потенциалом U(x1,x2,x3) характеризуется своим положением x=(x1,x2,x3) и скоростью w; последняя величина может быть заменена

m

Формулы (4) есть системы из шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Здесь фазовое пространство представляет собой шестимерное евклидово пространство, шесть компонент вектора фазовой скорости – это компоненты обычной скорости и силы, а проекция фазовой траектории на пространство x1 (параллельно импульсному пространству) является траекторией частицы в обычном смысле слова.

В ряде случаев невозможно установить соответствие между всеми состояниями динамической системы и точками евклидова пространства. Однако такое соответствие может быть установлено локально: для состояний, достаточно близких друг к другу. Если термин «фазовое пространство» отнести к совокупности всех состояний динамической системы, можно сказать, что в общем случае фазовое пространство не является евклидовым пространством, а скорее дифференцируемым многообразием Wn. Локально движение динамической системы описывается системой дифференциальных уравнений, типа Ур.1. С другой стороны, глобальное (т. е. подходящее для всех состояний динамической системы) и инвариантное (т. е. не зависящее от выбора диаграммы) описание движения дается формулой (3), где f- векторное поле, определенное на Wn, которое ассоциируется с каждой точкой w вектора f(w) в касательном пространстве многообразия в этой точке; Ур.3 означает, что в процессе движения фазовая точка, совпадающая в данный момент времени с точкой w Wn, имеет скорость f(w) в этот момент. В локальных координатах вектор f(w) представляется в терминах его компонентов (2), а (3) сводится к (1).

Даже если фазовое пространство является евклидовым, часть движения исследуемой динамической системы может быть описана с помощью векторного поля на некотором инвариантном многообразии W, т. к. подмногообразие фазового пространства такое, что вся траектория, проходящая через произвольную точку w W заключается в W. Так, в предыдущем примере, если речь идёт об определенном значении энергии E, система (4) не должна изучаться на протяжении всего 6-мерного евклидового

http://profbeckman.narod.ru/

пространство переменных (x,p), а лишь в 5-мерном подмногообразии, определяемом уравнением

p2 U (x) E, 2m

где p2=p12+p22+p32. Инвариантность этого многообразия отражает тот факт, что энергия частицы, движущейся в потенциальном поле, сохраняется, т. е. p2/2m+U(x) является первым интегралом системы (4) (так называемый интеграл энергии).

Динамика (уравнение движения) – причинно-следственная связь нынешнего состояния системы с новым состоянием в ближайшем будущем. Это детерминированный закон.

Как уже упоминалось, динамическая система может иметь дискретное или непрерывное время.

Вслучае непрерывного времени временной шаг бесконечно мал, и уравнение движения представляет собой дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений:

du/dt=F(u)

где u - состояние, а t - временная переменная.

Пример. Уравнение движения неуправляемого и незатухающего маятника.

Вслучае дискретного времени шаги по времени отличны от нуля, и динамика описывается отображением:

un+1=F(un),

с дискретным временем n.

Замечание. Моменты времени tn не обязательно разделены одинаковыми интервалами. Только порядок их следования одинаков: n<m означает tn<tm.

Динамические системы классифицируются на основе свойств T, X и ft. При этом учитывается является ли набор времён T непрерывным или дискретным, конечно или бесконечно пространство состояний X, непрерывно оно или дискретно, являются ли объекты в X – конечномерными (например, векторами) или бесконечномерными (функции).

В векторной форме уравнение динамической системы записывается в форме: x F (x)

где F(x) – вектор-функция размерности N.

Число степеней свободы, n, и размерности фазового пространства динамической системы, N, – связанные понятия. Под числом степеней свободы понимается наименьшее число независимых координат, необходимых для однозначного определения состояния системы. Под координатами понимают пространственные переменные, характеризующие взаимное расположение тел и объектов. Для однозначного решения соответствующих уравнений движения необходимо помимо координат задать соответствующие начальные значения импульсов или скоростей. Поэтому система с n степенями свободы характеризуется фазовым пространством в два раза большей размерности (N = 2n).

C математической точки зрения динамическая система относится к задаче с начальным значением (при t=0, x=x(0)). Подразумевается, что существует понятие времени и что состояние в начальное время переходит в новое состояние (или набор состояний в последующие промежутки времени. Таким образом, состояния могут быть упорядочены по времени, а время можно рассматривать как единственную переменную.

Эволюция динамической системы с непрерывным временем определяется потоком x(t)=ft(x(0)),

который задаёт состояние системы в момент времени t, при условии, что в момент времени 0 состояние было х(0).

Динамическая система представляет собой триплет {T, X, ft}, где T – набор времён, X – пространство состояний, а ft:X→X – семейство эволюционных операторов,

http://profbeckman.narod.ru/

параметризованных t T и удовлетворяющих следующим свойствам: f0 – тождественный оператор, т. е. для x X, f0x=x; ft*s=ft fs, т. е. для x X, ft*sx=ft (fsx).

Гладкий поток можно дифференцировать по времени, чтобы даёт дифференциальное уравнение dx/dt=X(x). Функция X(x), называемая векторным полем, задаёт вектор, указывающий направление скорости в каждой точке фазового пространства.

Поток – детерминированная динамическая система на многообразии М, непрерывно дифференцируемой по времени. Он определяется функцией f:R×M→M, так что фазовая траектория задаётся уравнением x(t)=f(x(0)). Свойства потоков: 1) идентичность f0(x)=x; 2) групповое свойство ft+s(x)=ft(φs(x)); 3) дифференцируемость

динамику можно перезапустить в любой точке x(s) вдоль своей траектории, получив тот же результат x(t+s), что при непрерывно текущем времени. Последнее свойство, дифференцируемость, определяет векторное поле X, которое связано с любым потоком. Следствием группового свойства является то, что орбиты потока являются решениями

обыкновенного дифференциального уравнения d x X (x) . dt

Определить динамику, связанную с дифференциальными уравнениями, через концепцию потока удобно, потому, что тогда можно избежать вопросов существования и единственности решений ОДУ: фазовые траектории потока уникальны (только одна орбита проходит через каждую точку в M) и существуют во все времена. Полупоток представляет собой поток, определенный только для неотрицательных значений времени. Полупотоки обычно возникают для уравнений с частными производными.

Эволюция детерминированной системы с дискретным временем в непрерывном пространстве определяется отображением ft. При этом учитывается, является ли динамическая система детерминированной или стохастической, автономна или зависит от времени, обратима или нет. (Некоторые авторы делают различие между динамическими системами с обратимой эволюцией времени и полудинамическими системами, для которых ft не обратима, т. е. эволюция назад во времени не определена.)

Отображение может зависеть от некоторых параметров, величины не изменяются при эволюции, но могут различаться в зависимости, например, от экспериментальных условий.

Эволюция системы определяется итерацией st+1=f(st). Отображение может быть взаимно однозначным (обратимым) или нет. Обратимые отображения могут быть непрерывными с непрерывным обратным порядком (гомеоморфизм) или быть гладкими и гладко обратимыми (диффеоморфизм).

Гомеоморфизм – взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств.

Диффеоморфизм – взаимнооднозначное и гладкое отображениегладкого многообразия в гладкое многообразие , обратное к которому тоже является гладким.

При известном начальном состоянии x1=f(x0),

которое даёт состояние х1 возникающее из начального состояния в следующий момент времени. После n-временных интервалов

xn=fn(x0),

где fn – n-ая итерация f.

Простым примером является логистическое отображение динамики населения.