http://profbeckman.narod.ru/

позволяет проводить анализ на макро– и микроуровнях. Этот процесс определяется через последовательность сходящихся и расходящихся стадий и оказывается особенно полезным для описания и исследования большого числа развивающихся одновременно локальных подсистем, составляющих единое целое.

Методология нелинейных динамических систем, позволяет реализовать ситуацию, когда, при условии, что зависимая переменная однозначно детерминирована группой независимых переменных, невозможно заранее определить точное значение зависимой переменной в тот или иной момент времени. Имеет место высокая чувствительность к начальным условиям. Небольшие различия на старте могут существенно повлиять на развитие процесса, описываемого системой простых уравнений. В отличие от стохастической (беспорядочной) структуры, структуры детерминированного хаоса обладают устойчивостью возникающих в системе образований по отношению к малым возмущениям при видимой непредсказуемости. Установить эту устойчивость можно математически, хотя визуально (если смотреть зависимость какого-либо показателя, определяющего состояние системы от времени) случайный процесс и детерминированное поведение различить трудно.

Динамические системы подразделяют на два класса: консервативные (например, механические колебательные системы в отсутствие трения) и диссипативные. Для диссипативных сред характерно то, что режим динамики, возникающий в системе, предоставленной самой себе в течение длительного времени, становится не зависящем от начального состояния.

9.5Эволюция динамической системы

Втеории динамических (линейных и нелинейных) систем используются методы различных разделов математики: топологии и алгебры, фрактальной геометрии, теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф, математической статистики и теории вероятности и др. Математический аппарат последовательно развивается, начиная с дифференциальных уравнений первого порядка и их бифуркаций, с последующим анализом фазовых плоскостей, предельных циклов и их бифуркаций, и заканчивается уравнениями Лоренца, хаосом, итерированными картами, удвоением периода, перенормировкой, фракталами и странными аттракторами.

Нелинейная динамика – междисциплинарная наука, в которой изучаются свойства нелинейных динамических систем. Нелинейной называется теория, использующая нелинейные математические модели. Нелинейная динамика включает в себя теорию устойчивости, теорию динамического хаоса, эргодическую теорию, теорию интегрированных систем.

Хаос – детерминистическая нелинейная динамическая система, которая может продуцировать кажущиеся случайными результаты. Хаотическая система имеет фрактальную размерность и проявляет чувствительную зависимость от начальных условий.

Теория хаоса – математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления, обычно принято использовать название: теория динамического хаоса. Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмия сердца, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические и другие социальные системы.

Эргодическая теория – один из разделов общей динамики. Эргодичность – свойство некоторых динамических систем, состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы. Система, в которой фазовые средние совпадают с временными, называется эргодической. Такие системы можно описывать статистическими методами. Например,

http://profbeckman.narod.ru/

температура газа – это мера средней энергии молекулы. Естественно, предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы. Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам. Более простое объяснение: для расчёта/определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента, а можно за очень короткое время рассмотреть все её элементы. В обоих случаях получатся одинаковые результаты, если система обладает свойством эргодичности.

Теория интегрируемых систем – раздел математической физики, изучающий недиссипативные решения дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных. Такие системы имеют соответствующие высшие симметрии. Под интегрируемыми понимают такие системы, решения которых могут быть представлены в явном виде не сложнее, чем через квадратуры — интегралы, зависящие от начальных данных задачи.

Динамическая система является пространством состояний (S) множеством времен (T) и правилом (R) для эволюции R: SхT S, что дает следствие (s) в состояние s S. Динамическую систему можно рассматривать как модель, описывающую временную эволюцию системы.

Пространство состояний представляет собой набор координат, необходимых для полного описания системы. Учитывая текущее состояние системы, правило эволюции предсказывает следующее состояние или состояния. Помимо состояния, эволюционирующего во времени, модель может также зависеть от параметров, которые являются постоянными или, возможно, известными функциями времени, например, масса тел в механической модели или рождаемости в популяционной модели.

Пространство состояний может быть дискретным или непрерывным. Например, монета может быть смоделирована пространством состояний, состоящим из двух состояний: орёл и решка. В дискретном пространстве также может быть бесконечно много состояний; например, случайное блуждание может быть ограничено решеткой точек, а состояние системы - это просто та точка решетки, которая в настоящее время занята частицей.

Пространство состояний обычно называют фазовым пространством динамической системы, а траекторию движения изображающей точки в этом пространстве – фазовой траекторией.

Пространство состояний – один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний. Фазовое пространство – набор элементов (называемых "точками"), представляющих возможные состояния системы в некоторый момент времени (обычно гладкое, конечномерное множество); совокупность всех допустимых состояний динамической системы; плоскость с осями координат, с отложенными переменными х и у, на которой представлено множество всех состояний системы так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства; пространство значений параметров системы.

Фазовое пространство динамической системы (пространство состояний) - множество всех её возможных состояний в фиксированный момент времени.

Фазовая траектория (орбита) - движение фазовой (изображающей) точки вдоль некоторой линии.

Состояние системы – характеристика системы на данный момент ее функционирования;

совокупность значений некоторых характеристик системы в данный момент времени. Поскольку система описывается определенным комплексом существенных переменных и параметров, то для того, чтобы выразить состояние системы, нужно определить значения, принимаемые ими в рассматриваемый момент. Состояние системы описывается вектором (портрет системы). Поскольку каждая система может иметь множество допустимых состояний, то говорят, что состояние системы в момент t — это вектор

http://profbeckman.narod.ru/

или точка в пространстве состояний системы. Описывает изменение состояния системы во времени эволюционный оператор.

Предельное множество – множество состояний, которое достигает математический объект, зависящий от времени (например, динамическая система), через бесконечный интервал времени. Это множество состояний, к которым объект неограниченно приближается при неограниченном возрастании (или убывании) времени.

Состояние динамической системы – некоторый параметр (число или вектор), позволяющий сделать однозначным определение ее выхода по входу. Различные начальные состояния приводят к различной реакции на одно и то же входное воздействие.

Пример. Для неуправляемого маятника состояние однозначно определяется углом и угловой скоростью =d /dt. В случае driving вождения фаза побуждения также необходима, и маятник тогда описывается неавтономной системой.

В пространственно распределённых системах состояние представляет собой поле (скалярное или векторное). Такое поле – функция с пространственными координатами, как независимыми переменными. Поле скоростей жидкости является известным примером.

Когда пространство состояний непрерывно, оно часто является гладким многообразием, его и называют фазовым пространством. Например, простой маятник моделируется как жесткий стержень, который подвешен в вертикальном гравитационном поле на стержне, вбитом в стену, что позволяет маятнику колебаться в плоскости. Согласно Ньютону, знание угла стержня относительно вертикали, θ, и угловой скорости, ν=dθ/dt, является достаточным для описания состояния маятника. Таким образом, фазовое пространство маятника представляет собой совокупность возможных значений θ и ν двумерного многообразия. Это многообразие является цилиндром, так как θ является периодическим. В дополнение к состоянию маятника модель также зависит от двух параметров: длины маятника и силы тяжести. Фазовое пространство также может быть бесконечным, например, функциональным пространством. Это относится к динамике, моделируемой дифференциальными уравнениями с частными производными.

Пространство состояний представляет собой совокупность всех возможных состояний динамической системы; каждому состоянию системы соответствует уникальная точка в пространстве состояний. Например, состояние идеального маятника однозначно определяется его углом и угловой скоростью, поэтому пространство состояний представляет собой совокупность всех возможных пар «(угол, скорость)». Пространство состояний (фазовое пространство) может быть конечным, состоящим всего из нескольких точек, но может состоять из бесконечного числа точек, образующих гладкое многообразие, что обычно для обыкновенных дифференциальных уравнений и отображений. В символической динамике это канторовское множество, которое является нульмерным. Число степеней свободы динамической системы есть размерность ее фазового пространства, это число переменных, которые необходимы для полного описания системы. В контексте гамильтоновых систем число степеней свободы – это число пар переменных состояния.

Динамическая система на многообразии обычно описывается уравнениями, используя эвклидовы переменные. Сложное поведение фазовых траекторий динамической системы может быть описано последовательностью символов.

Символическая динамика – практика моделирования топологической или гладкой динамической системы дискретным пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы с динамикой (развитие), данное оператором изменения. Объединяет динамические системы, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево. Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. В символической динамике у таких понятий, таких как гетеро-

http://profbeckman.narod.ru/

неблуждающего набора можно изменением числа неблуждающих множеств в ходе бифуркации.

Помимо задания фазовых состояний системы в динамике важны законы эволюции.

Закон эволюции - правило, которое позволяет, если известно состояние системы в некоторый момент времени, определить состояние системы в любой другой момент времени.

Существование закона эволюции динамической системы эквивалентно предположению, что исследуемый процесс детерминирован и в прошлом и в будущем. Предполагается, что сам закон эволюции не зависит от времени, т.е. для любого значения t, t0 - результат эволюции в течение времени t стартующий в момент времени t0 не зависит от t0.

Вматематическом аппарате динамики время может быть дискретным или непрерывным или представлено топологической группой. Динамическая система с дискретным временем (пример – идеальная монета), оценивает свое состояние только после определенных дискретных интервалов. В случае броска монеты игнорируется процессы падения и отскока монеты, и состояние монеты анализируется только тогда, когда она достигла равновесия. Примеры систем с дискретным временем: динамика численности населения (дискретность, относящуюся к последующим поколениям), бильярд (учитываются состояния в момент ударов). Обычно дискретный временной интервал нормируется на единицу, поэтому множество допустимых времен задаётся целыми числами, чаще неотрицательными целыми числами. Это удобно даже для систем типа бильярда, в которых интервал между ударами может быть непостоянным.

Вматематике предпочитают обозначать дискретное время как набор значений в наборе целых чисел Z, а непрерывное – как набор реальных чисел R.

Обозначим X фазовое пространство динамической системы. Введем эволюционный оператор gt для времени t с помощью следующего соотношения: для любого состояния

x X системы в момент времени 0 состояние системы в момент времени t равно gtx, тогда gt: X → X.

Предположим, что закон эволюции не зависит от времени и существует оператор эволюции, так что справедливо тождество:

gs(gt+x) = gt+s(x).

Поэтому множество {gt} является коммутативной группой относительно операции композиции:

gsgt=gs(gt).

Обратным элементом к gt является g-t. Эта группа изоморфна Z или R для случаев дискретного или непрерывного времени соответственно. В случае дискретного времени такие группы называются однопараметрическими группами преобразований с дискретным временем (фазовыми каскадами). В случае непрерывного времени такие группы называются однопараметрическими группами преобразований (фазовые потоки).

Динамическая система – это триада (X, Ξ, G), где X – множество (фазовое пространство), Ξ либо Z, либо R, а G - однопараметрическая группа преобразования X (с дискретным временем, если Ξ = Z) Множество {gtx, t Ξ} называется траекторией или орбитой точки x X.

Замечание. Для случая дискретного времени gn = (g1)n.

Орбита точки x есть ...x, g1x, (g1)2x, (g1)3x. Обычно рассматриваются гладкие многообразия.

Пример 1 (вращение круга) X=S1=R/(2πZ), Ξ=Z, g1: S1→S1, g1x=x+α mod2 π, α R.