начинаются с членов второго порядка. Систему можно привести к связанным с циклом координатам

Анализ устойчивости цикла сводится к анализу устойчивости нулевого решения линейной двумерной системы

При μ<0 нулевое решение и, соответственно, цикл xo(t) исходной системы устойчивы. При μ >0 в системе появляется устойчивое решение с частотой ν/2 или же с удвоенным периодом 4π/ν.

Бифуркация удвоения периода цикла играет основополагающую роль в процессе формирования сингулярных аттракторов и хаотической динамики в нелинейных системах дифференциальных уравнений. Она начинает бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода, ведущий к возникновению простейшего нерегулярного (сингулярного) аттрактора Фейгенбаума. Её можно наблюдать во всех классических трехмерных хаотических системах нелинейных дифференциальных уравнений. Она обнаружена также и практически во всех нелинейных автономных и неавтономных, диссипативных и консервативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и с запаздывающим аргументом.

16.9 Бифуркация рождения (гибели) двумерного тора.

Эта бифуркация может произойти только в фазовом пространстве размерности m>2. Она связана с переходом при μ=0 двух комплексно сопряженных мультипликаторов исходного предельного цикла х0(t, ), имеющего период Т, через точки exp(±i ), 0< < единичной окружности или, что равносильно, с переходом двух комплексно сопряженных показателей Флоке цикла (собственных значений матрицы D(μ) системы (1.15)) через точки ±iφ/Τ мнимой оси плоскости комплексного переменного. Бифуркация является частным случаем бифуркации Андронова—Хопфа в гиперплоскости S, трансверсалыюй к исходному циклу, и имеет нормальную форму

Рис. 29 Бифуркация рождения двумерного тора из предельного цикла С0: а - траектория на торе в окрестности потерявшего устойчивость цикла С0; б - эргодический тор; в - резонанс в торе.

http://profbeckman.narod.ru/

При этом цикл x0(t, ) теряет устойчивость (но не исчезает), и одновременно возникает новое устойчивое движение по двумерному тору Т2, задаваемому основной частотой исходного цикла ω0=2π/Τ и частотой ω1= φ/Τ=ω0φ/2π родившегося в результате бифуркации цикла u(t) = √ exp( Z/ ) (рис. 29).

Величина, равная отношению между частотами θ=ω1/ω0)=φ/2π. называется числом вращения на торе Т2. Если число вращения рационально, т.е. θ = p/q, где q и ρ<q/2 - целые положительные числа, то родившееся устойчивое движение на торе будет периодическим. Если же число вращения иррационально, то фазовая кривая родившегося устойчивого движения образует всюду плотную обмотку тора. Родившийся тор является устойчивым в том смысле, что любая траектория системы стремится к некоторой траектории, расположенной на торе, с некоторой своей асимптотической фазой. При дальнейшем увеличении значений параметра μ фазовый портрет системы будет качественно меняться, демонстрируя переходы от эргодического движения на торе к режимам резонансов.

16.10 Гомоклиническая бифуркация рождения/исчезновения цикла

Гомоклиническая орбита - траектория, которая приближается к неподвижной точке как при t, так и при t -. Формирование гомоклинической орбиты при изменении параметра (гомоклиническая бифуркация) может привести к созданию или разрушению периодической орбиты. Для гомоклинической бифуркации, показанной на рис. 37, гомоклиническая орбита образуется при =0, а периодическая орбита существует при >0, но не для <0. При + период

периодической орбиты расходится к бесконечности.

Рис. 30: Верху: фазовое пространство и бифуркационная диаграмма для гомоклинической бифуркации, рождающей устойчивую периодическую орбиту, когда увеличивается,

проходя через 0. Открытые кружки показывают неподвижные точки, которые не участвуют в бифуркации. Внизу: Бифуркационная диаграмма, показывающая период периодической орбиты как

функцию

Гомоклиническая бифуркация рождения/исчезновения цикла возникает, например, в системе ОДУ:

x y;

критическое значение параметра с=- 0,8645.

Рис. 31 Гомоклиническая бифуркация.