http://profbeckman.narod.ru/

20. ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

Выше было подробно описано логистическое отображение вида xn+1=r(xn-xn2), которое можно представить как xn+1=1- xn2. В данной главе мы продолжим рассмотрение одномерных квадратичных отображений на примере xn+1=С+xn2 и xn+1=a-xn2. Все квадратичные отображения имеют похожие свойства (каждое имеет хотя бы одну точку, в которой производная от функции обращается в нуль; способно к хаотическому движению, имеет самоподобную (фрактальную) структуру бифуркационной диаграммы, зависит от одного параметра и проявляет сингулярность) но есть и отличия.

Затем будут обсуждены некоторые другие нелинейные отображения: одномодальное синус отображение и бимодальное кубическое отображение.

20.1 Отображение xn+1=С+xn2.

Ранее мы уже рассмотрели свойства типичного представителя квадратичных отображений – логистического отображения xn+1=r(xn-xn2). Теперь обсудим поведение другого представителя семейства одномерных квадратичных отображений:

Покажем, что это простое отображение обладает нетривиальной и богатой динамикой. При изменения параметра C устойчивые периодические орбиты отображения испытывают каскады бифуркаций (что проявляется, например, в самоподобии множества Мандельброта).

Напомним, что точки, в которых производная f(1)(xc)=0 называются критическими точками. Для аналитического отображения известно, что каждый устойчивый цикл обязательно притягивает к себе критическую точку. Так как у квадратичного отображения есть единственная критическая точка xc=0, то у него может существовать только один притягивающий цикл и начинать его поиски следует из точки xc=0. Для функции f(x)=x2+С вторая итерация функции f(2) помимо существовавших ранее двух отталкивающих неподвижных точек добавляет пару притягивающих неподвижных точек, которые приводят к появлению цикла с периодом 2. При переходе С через значение -3/4 система претерпевает бифуркацию удвоения периода. Другая бифуркация удвоения периода возникает при С=-5/4. Когда С становится меньше этого значения, орбиты начинают притягиваться циклом с периодом 4. По мере того как С убывает, последовательно встречаются притягивающие периодические орбиты длины 8, 16 и т. д.

За динамикой одномерного вещественного отображения удобно следить по итерационной диаграмме (рис. 1). Синяя кривая это N-ая итерация отображение f oN(x) = f(f(...f(x))). Зеленая линяя y=x. Координаты изменяются в пределах -2≤x,y≤2. Т.к. f(0)=C, то при N=1 значение C совпадает с y(0). Зависимость xn от n строится в правом окне (итерации начинаются с x0). Чтобы построить итерационную диаграмму, проведем красную вертикальную линию из начальной точки xo=0 к синей линии y=f(x)=x2+С, где yo =f(xo). Чтобы получить следующую итерацию, строим горизонтальную линию к зеленой диагонали y=x, где x1=yo=f(xo). Далее снова строим вертикальную линию к синей кривой,

чтобы получить y1=f(x1) и т.д. Точки fc: xo→x1→x2→... при некотором значении С образуют орбиту точки xo.

Рис. 1. Итерационная диаграмма отображения xn+1=С+xn2: С=-1,35,

х0=0.

Рассмотрим теперь неподвижные точки отображения (1).

Неподвижные точки x•=f(x• ) отображения совпадают с пересечением y=x и y=f(x) (т.е. зелёной и синей кривых). У квадратичного отображения есть две неподвижные точки (возможно комплексные), определяемые квадратным уравнением f(x*)-x*=x*2+С-x*=0,

сверхустойчивая, неустойчивая или нейтральная в соответствии со значением мультипликатора |m|<1, |m|=0, |m|>1 или |m|=1, соответственно.

Вторая неподвижная точка (на рис. 2б) – всегда отталкивающая. При |x|> x2 итерации расходятся к бесконечности. При |x|<x2 они сходятся к притягивающей неподвижной точке x1. Точки этого интервала образуют её бассейн притяжения.

Рис. 2. Итерационная диаграмма отображения xn+1=С+xn2: С=-0,5, х0=1,35.

При C=-1 у отображения есть притягивающий цикл с периодом два (рис.

3б). У второй итерации отображения f o2 при этом появляются две притягивающие неподвижные точки.

Рис. 3. Итерационная диаграмма отображения xn+1=С+xn2: С=-1, х0=-0,6.

Рассмотрим теперь переход к хаосу путём удвоения периода.

Каскад бифуркаций (последовательность Фейгенбаума или сценарий удвоения периода) – один из типичных сценариев перехода от порядка к хаосу, от простого периодического режима к сложному апериодическому при бесконечном удвоении периода.

Последовательность Фейгенбаума имеет самоподобную, фрактальную структуру – увеличение какой-либо области выявляет подобие выделенного участка всей структуре. Анализ механизмов перехода от порядка к хаосу выявил универсальность относительно немногих сценариев перехода к хаосу. Вхождение системы в непредсказуемый режим описывается каскадом бифуркаций, следующих одна за другой. Каскад бифуркаций ведет последовательно к появлению выбора между двумя решениями, затем четырьмя и так далее, система начинает колебаться в хаотическом, турбулентном режиме последовательного удвоения количества возможных значений.

Применим показатели Ляпунова к исследованию устойчивости особых точек квадратического отображения. Для отображения xn+1=f(xn) малому отклонению δxo координаты точки xo соответствует малое изменение координаты x1 δx1=f'(xo) δxo. Для n-ой итерации отображения

δxn = δxo∏i=0,n-1 f '(xi ). (3)

Показатель Ляпунова для отображения выражается через это изменение по формуле Λ=limn → ∞ Ln, Ln=1/n log|δxn /δxo|=1/n ∑i=0,n-1 ln |f '(xi )|. У хаотической траектории

|δxn| растёт с увеличением n, поэтому для неё Λ>0. Для притягивающего цикла показатель

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 7. Хаотическая траектория квадратичного отображения при С=-2

Рис. 8. Возникновение устойчивой орбиты при касательной бифуркации.

В точке С=1/4 парабола касается диагонали, а при С<1/4 они пересекаются в двух точках, соответствующих устойчивой и неустойчивой неподвижным точкам. Это явление называется касательной бифуркацией. Устойчивая орбита с периодом 3 также рождается в касательной бифуркации при С=-1.75 и далее, при уменьшении показателя Ляпунова L отрицательный. При С>1/4 итерации квадратичного отображения расходятся. параметра, повторяет весь каскад бифуркаций квадратичного отображения.

Рассмотрим бифуркации удвоения периода.

При С<-3/4 производная в левой неподвижной точке f'(x1)=m<-1 и точка теряет устойчивость. В окрестности С=-3/4, после первой итерации δx'=mδx~-δx меняет знак, а после второй итерации снова δx''=m2δx~δx. Поэтому у отображения появляется притягивающая периодическая орбита с периодом 2 x3→x4→x3 ... Это явление называется

бифуркацией удвоения периода.

У второй итерации квадратичного отображения f o2(x) при этом появляются две притягивающие неподвижные точки x3, x4 (соответствующие устойчивому циклу) и неустойчивая x1 (между ними). Отметим, что в окрестности нуля f o2(x) похожа на параболу и при дальнейшем уменьшении c также испытывает бифуркацию удвоения периода после которой у квадратичного отображения появляется устойчивый цикл с периодом 4 и т.д. То, что устойчивые орбиты с разными периодами испытывают подобные бифуркации, объясняется теорией перенормировок (renormalization theory). Заметим, что неустойчивые орбиты уже никогда больше не исчезают.

Рассмотрим теперь бифуркационную диаграмму (рис. 9а).

Будем строить итерации fc: x1=0→x2→x3→...→xMax для вещественных С на плоскости (x, С). Цвета (от синего к красному) показывают, как часто орбита попадает в данную точку (переходный процесс показывает, как быстро итерации сходятся). По итерационной диаграмма рис. 9б можно проследить за орбитой точки х=0 при соответствующем значении С.

Координаты центра изображения x,c и Δx,Δc отображаются в текстовом поле. Синяя вертикальная линия проходит через начальную точку x=0.

Верхняя часть диаграммы рис. 10 начинается с касательной бифуркации при C=1/4. При -3/4≤C≤1/4 существует единственная неподвижная притягивающая точка. В окрестности C=-3/4 видна точка ветвления бифуркации удвоения периода, после чего

http://profbeckman.narod.ru/

неподвижная точка теряет устойчивость и появляется притягивающая орбита с периодом 2. Далее после новой бифуркации удвоения периода возникает орбита с периодом 4 и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода заканчивается при С=-1.401 после чего возникает область хаотической динамики, которая заканчивается кризисом при C=-2. В области хаотической динамики видны узкие горизонтальные белые полосы окон

Рис. 9. Итерационная диаграмма отображения (1): С=-0,7, х0=0.

Рис. 10. Бифуркационная диаграмма отображения (1) в различных масштабах.

регулярной динамики. Самая большая полоса внизу соответствует окну с периодом 3.

В области изменения параметра r>3 наблюдается каскад удвоения периода. r>3,5699456... – поведение хаотическое, каскад удвоения периода заканчивается. Малые изменения начальных условий приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего

поведения системы.

Можно найти каустики бифуркационной диаграммы.

Рис. 11. Построение распределения точек хаотических орбит.

. Рис. 11 поясняет, что каустики (см. далее) в распределении точек хаотических орбит генерируются экстремумами отображения. Поэтому

особенности (выделяемые красным цветом) на диаграмме

появляются на образах критической точки fc on(0). Обозначая gn(С)=fcon(0), получим go(С)=0, g1(С)=С,

g2(С)=С2+ С, ... Кривые g0,1,...,6(С) показаны на Fig. 12.

Рис. 12. Каустики отображения (1).

Отметим, что аттрактор квадратичного отображения заключен между кривыми g1(c) и g2(c). Точка пересечения каустики с вертикальной прямой x=0 на диаграмме соответствует окну периодической динамики.