4.2.9. Внутренняя ставка дохода

Внутренняя ставка дохода IRR (Internal Rate of Return) представляет собой процентную ставку, при которой чистый приведенный доход NPV = 0. Таким образом, IRR является корнем уравнения относительно i:

. (4.2.23)

Иначе говоря, это ставка, при которой проект ни прибыльный, ни убыточный.

Пример

Проект рассчитан на два года и требует инвестиции в I₀ = 10 000 рублей. В конце первого года доход составит R₁ = 5 000 рублей, а в конце второго года – R₂ = 12 000.

1. Найти чистый приведенный доход и чистый наращенный доход при процентной ставке в 10 % годовых.

2. Найти срок окупаемости проекта без учета и с учетом времени.

3. Найти внутреннюю ставку дохода.

4. Определить индекс окупаемости.

Решение

1) По формуле (4.2.18) при n = 2, i = 10 % найдем чистый приведенный доход

.

Заметим, что величина 4 545,45 соответствует современной стоимости 5 000, а величина инвестиции 9 917,36 соответствует современной стоимости 12 000.

Поскольку NFV > 0, проект рентабелен.

По формуле (4.2.19) при n = 2, i = 10 % найдем чистый наращенный доход

NFV = (1+i)² ∙NPV = 1,1²  4 462,81 = 5 400.

2. Найдем срок окупаемости без учета времени по формуле (4.2.21), что приводит к уравнению 5 000 + 12 000 x = 10 000. Отсюда дробная часть срока окупаемости . Срок окупаемости равен 1 + x = 1,41.

Срок окупаемости с учетом времени по формуле (4.2.22) приводит к уравнению

Срок окупаемости с учетом времени поступления доходов равен 1,55.

3) Внутреннюю ставку дохода по формуле (4.2.23) находим из решения уравнения относительно i.

. Для простоты вычислений обозначим x = 1 + i, тогда 10 000x² – 5 000x – 12 000 = 0.

Сокращая на 1 000, получим квадратное уравнение

10 x² – 5 x – 12 = 0.

Положительный корень этого уравнения x₁ = 1,3736. Отсюда находим, что внутренняя ставка дохода IRR = x₁ – 1 = 1,3736 – 1 = 0,3736.

Выраженная в процентах IRR = 37,36 % существенно больше номинальной ставки, что еще раз указывает на рентабельность проекта.

4) Определим индекс рентабельности по формуле (4.2.20).

= (4545,45 + 9917,36) / 10000 = 14562,81 / 10000 = 1,456.

Индекс рентабельности > 1, что указывает на рентабельность проекта.

4.2.10. Эквивалентность финансовых обязательств

Уравнение эквивалентности для двух платежей, определенных в различные моменты времени, получается приведением этих платежей к одному общему моменту времени.

Принцип эквивалентности заключается в том, что денежная сумма S₁ в момент времени t₁ эквивалентна сумме S₂ в момент времени t₂, если современные значения обоих платежей равны, то есть

P₁ = P₂.

Из последнего условия следует: по простой ставке сравнения i

; (4.2.24)

. (4.2.25)

Из этих равенств следует, что наращенные суммы и приведенные стоимости эквивалентны. Откуда следует связь между двумя наращенными суммами:

S₂ = S₁(1+i)^t ,

из которой получается формула для ставки сравнения, при которой эти суммы эквивалентны (эквивалентной ставки)

, (4.2.26)

где t = t₂ - t₁.

Пример

Предполагается вложить средства в один из двух финансовых проектов. В первом проекте через 3 года выплачивается 600 рублей, во втором – 700 рублей через 5 лет. Используя понятие эквивалентности финансовых обязательств, определить, который из проектов выгоднее. Найти значение эквивалентной ставки i₀.

Вычисления выполнить для двух значений ставки сравнения i₁ = 12 и i₂ = 6.