Решение

Первый платеж в размере R₁ = 1,5 млн руб. производится до момента консолидированного платежа n₀ = 1 и, следовательно, t₁ = n₀ - n_j = 1 - 0,5 = 0,5. Приведение его к моменту n₀ = 1 означает наращение по сложной ставке, т. е. приведенная стоимость R₁ = 1,5 будет равна 1,5 (1 + 0,1)^0,5 = 1,575.

Второй платеж в размере R₂ = 1 млн руб. производится после момента консолидированного платежа n₀ = 1 и, следовательно, t₂ = n₀ – n₂ = 1 - 1,5 = -0,5. Приведение его к моменту n₀ = 1 означает дисконтирование по сложной ставке, т. е. приведенная стоимость R₂ = 1 будет равна 1 (1 + 0,1)^-0,5 = 0,952.

Третий платеж в размере R₃ = 2 млн руб. производится после момента консолидированного платежа n₀ = 1 и, следовательно, t₃ = n₀ – n₃ = 1 - 2,5 = -1,5 Приведение его к моменту n₀ = 1 означает дисконтирование по сложной ставке, т.е. приведенная стоимость R₃ = 2 будет равна 2 (1+0,1)^-1,5 = 1,732.

Таким образом, величина консолидированного платежа равна

R₀ = 1,5(1 + 0,1) ^0,5 + 1 (1 + 0,1) ^-0,5 + 2 (1 + 0,1) ^-1,5 = 1,575 + 0,952 + 1,732

= 4,259 млн руб.

Заметим, что по исходному обязательству в течение 2,5 лет надо выплатить 4,5 млн руб.

4.2.6.2. Определение срока консолидированного платежа

Пусть размер консолидированного платежа R₀ известен. Необходимо определить срок n₀ его выплаты. Для этого запишем равенство современных значений исходного и консолидированного обязательств. Для схемы простых процентов получаем равенство

. (4.2.11)

Отсюда получаем срок n₀ выплаты консолидированного платежа R₀:

. (4.2.12)

Для схемы сложных процентов из равенства современных значений

(4.2.13)

получаем срок n₀ выплаты консолидированного платежа R₀:

. (4.2.14)

Здесь Q обозначает сумму современных значений платежей исходного обязательства, то есть

. (4.2.15)

Пример

Исходное платежное обязательство состоит из трех платежей: первый платеж в размере R₁ = 1,5 млн руб. производится через n₁ = 0,5 года, второй платеж в размере R₂ = 1 млн руб. производится через n₂ = 1,5 года, третий платеж в размере R₃ = 2 млн руб. производится через n₃ = 2,5 года после начала контракта. Определить срок n₀ выплаты консолидированного платежа R₀ = 5 млн руб. Расчеты производятся по сложной схеме процентов 10 % годовых.

Решение

Первый платеж R₁ = 1,5 млн руб. имеет современное значение

Второй платеж R₂= 1 млн руб. имеет современное значение

Третий платеж R₃= 2 млн руб. имеет современное значение

Тогда сумма современных значений платежей исходного обязательства Q будет равна Q = 1,430 + 0,867 + 1,76 = 3,873 млн руб. Величина

Срок n₀ выплаты консолидированного платежа R₀ = 5 млн руб.

Вывод: если исходное финансовое обязательство заменить одним платежом в 5 млн руб., то срок нового обязательства будет равен 2,68 года.

4.2.7. Правило торговца

Рассмотрим теперь схему погашения, в которой допускаются различные размеры платежей и интервалы погашения задолженности. Здесь платежи не делятся на основные и процентные. Этот метод называют правилом торговца. При кредитах на срок не более года используют простые проценты.

Обозначим через

Z – сумму кредита,

T – продолжительность кредита в долях года,

i – процентную ставку,

R_j – сумму частичного платежа,

t_j – интервал времени в долях года от момента платежа до окончания срока кредита,

m – число промежуточных платежей.

Схема погашения долга по правилу торговца состоит в следующем. Вычисляется сумма долга с начисленными на весь срок и процентами Z (1 + iT). Сумма не изменяется до полного погашения. Из этой суммы в момент поступления платежа вычитается его величина с начисленными до конца срока процентами R_j (1 + i t_j). Таким образом, остаток долга в конце срока будет равен

. (4.2.16)

Пример

Кредит в 15 000 рублей выдан на 9 месяцев под 10 % годовых. Договор предусматривает погашание долга двумя промежуточными платежами. Первая выплата в сумме 500 рублей производится через 5 месяцев; вторая – через 7 месяцев.

Найти выплату в конце срока кредита.