2.4.3. Современная стоимость ренты с взносом в конце срока
Допустим, величина S определяет единовременный взнос в конце срока ренты. Современная стоимость этой величины будет равна
.
Т
,
(2.4.4)
определяют современную стоимость ренты.
Пример 2.4.2
Вкладчик намерен положить в банк сумму, чтобы его сын в течение пятилетнего срока обучения мог снимать в конце каждого года по 30 000 руб. и к концу учебы остаток вклада составил 10 000. Определить сумму вклада, если годовая ставка сложных процентов равна 12 %.
Решение
Ежегодные выплаты составляют R = 30 000 руб., срок ренты n = 5, годовая ставка i % = 12 %. Остаток вклада S = 1 000 определяет единовременный взнос в конце срока ренты. По формуле (2.4.4) находим сумму вклада:
Первое слагаемое определяет сумму для остатка вклада, а второе – расходную часть вклада.
2.4.4. Формула современной стоимости постоянной p-срочной ренты
Рассмотрим постоянную ренту, в которой начисление процентов и поступления платежей совпадают по времени m = p. Для получения современной стоимости необходимо в формуле
заменить номинальную ставку i на процентную ставку за один период i / m и число периодов n заменить на новое число периодов n m. Годовой платеж R нужно заменить на платеж за соответствующий период R / m.
2.5. Определение величины платежа ренты
Изучаемые вопросы:
Определение величины платежа ренты, когда известна будущая стоимость ренты.
Определение величины платежа ренты, когда известна современная стоимость ренты.
2.5.1. Определение величины платежа ренты, когда известна будущая стоимость ренты
Рассмотрим обычную годовую ренту сроком n лет и годовой процентной ставкой i. Требуется определить такую величину ежегодного платежа R, чтобы в конце срока получить наращенную сумму S. Единовременный взнос в начале срока P = 0. Из формулы наращенной суммы найдем величину ежегодного платежа R
.
Для p – срочной ренты с номинальной ставкой j из формулы
найдем величину платежа R / m за один период
.
Пример 2.5.1
За 2 года необходимо накопить сумму S =300 000. Определить величину ежемесячного платежа R при условии, что проценты начисляются в конце каждого месяца по сложной ставке в 12 % годовых.
Решение
Число начислений процентов равно числу платежей за год, т.е. p = m = 12,
накопленная сумма S = 300 000,
срок ренты n = 2 года,
номинальная процентная ставка j = 12 %
Таким образом, для накопления 300 000 за 2 года необходимо в конце каждого месяца вносить на счет 11 122.
2.5.2. Определение величины платежа ренты, когда известна современная стоимость ренты
Рассмотрим обычную годовую ренту сроком n лет и годовой процентной ставкой i. Требуется определить такую величину ежегодного платежа R, чтобы современная стоимость ренты равнялась заданному значению P. Единовременный взнос в конце срока S = 0. Из формулы современной стоимости ренты
найдем величину ежегодного платежа R
.
(2.5.1)
Для p – срочной ренты с номинальной ставкой j найдем величину платежа R / m за один период.
Пример 2.5.2
Определить величину ежемесячного платежа R ренты, современная стоимость которой за 2 года составит 300 000. Проценты начисляются в конце каждого месяца по сложной ставке в 12 % годовых.
Решение
Число начислений процентов равно числу платежей за год, т.е. p = m = 12,
накопленная сумма S = 300 000 ,
срок ренты n = 2 года,
номинальная процентная ставка j = 12 % .
.