4.2.5. Математическое дисконтирование

Дисконтирование связано с неравноценностью одинаковых денежных средств сегодня и через некоторое время в будущем. Это объясняется, например, возможностью инвестировать капитал сегодня и получить доход в будущем. Дисконтирование позволяет учитывать в финансовых операциях фактор времени. Простейшую задачу математического дисконтирования можно сформулировать так: какую сумму Р нужно поместить в банк под i процентов годовых, чтобы через n лет получить сумму, равную S ? Сумма Р называется современной или приведенной стоимостью будущей стоимости S. Решим эту задачу для схем простых и сложных процентов.

Дисконтирование по простой процентной ставке

Из формулы вычисления наращенной суммы по простой процентной ставке

S = P(1 + n∙i )

найдем приведенную (современную) стоимость Р:

. (4.2.6)

Дисконтирование по сложной процентной ставке.

Из формулы вычисления наращенной суммы по сложной процентной ставке

S = P(1+i) ⁿ

найдем приведенную (современную) стоимость Р:

. (4.2.7)

Если срок ссуды t выражается в долях года, приведенные стоимости для простой и сложной процентной ставки определяются соответственно формулами

; (4.2.8)

. (4.2.9)

Пример

Какую сумму следует поместить на 4 года под 10 % годовых для накопления суммы 1 000 000 руб.? Провести расчеты по схемам простых и сложных процентов.

Решение

Из условия задачи следует: n = 4, i = 10 %, S = 1 000 000 руб. По формуле (4.2.8) получаем современную стоимость для простых процентов

(руб).

Для определения современной стоимости по сложной схеме начисления процентов можно использовать формулу (4.2.10).

4.2.6. Консолидация платежей

4.2.6.1. Определение размера консолидированного платежа

Пусть условие контракта, в котором предусматривались выплаты сумм R₁, R₂, …, R_m в моменты времени n₁, n₂, …, n_m, заменяется одним платежом в момент времени n₀. Требуется найти размер R₀ этого платежа.

Считаем, что процентная ставка не изменяется. Согласно принципу эквивалентности финансовых обязательств, сумма заменяемых платежей, приведенных к моменту n₀, и новый платеж R₀ должны быть равны. Обозначим

t_j = n₀ - n_j,

т. е. положительное значение t_j означает промежуток времени от момента n_j до момента n₀ при n₀ > n_j, и промежуток времени от момента n₀ до момента n_j при n₀ < n_j. Приведение платежа R_j к моменту n₀ означает его наращение, если t_j > 0 и дисконтирование при t_j < 0. Тогда размер консолидированного платежа определяется для схемы сложных процентов по формуле

(4.2.10)

Пример

Исходное платежное обязательство состоит из трех платежей: первый платеж в размере R₁ = 1,5 млн руб. производится через n₁ = 0,5 года, второй платеж в размере R₂ = 1 млн руб. производится через n₂ = 1,5 года, третий платеж в размере R₃ = 2 млн руб. производится через n₃ = 2,5 года после начала контракта. Расчеты производятся по сложной схеме процентов 10 % годовых. Заменить три платежа одним через n₀ = 1 год после начала контракта.