4.4. Дюрация

Изучаемые вопросы:

• Дюрация по Маколею.

• Волатильность цены. Модифицированная дюрация.

Для сравнения облигаций с одинаковым сроком погашения, но различной структурой купонных платежей необходимо учитывать особенности распределения доходов во времени (“профиль” поступления доходов).

Таким показателем является дюрация – взвешенное среднее моментов поступления платежей.

4.4.1. Дюрация по Маколею

Для выбора облигации необходимо как-то оценивать ее риск. Он связан со сроком облигации: чем больше срок, тем выше риск.

,

где C = q N – размер купона.

Каждое слагаемое равно произведению времени j выплаты купона на величину

отношение приведенной стоимости j- ого купона к цене облигации

P .

Дюрация измеряется в годах и показывает среднее время всех выплат.

Этот показатель учитывает особенности потока купонов – отдаленные купоны имеют меньший вес, чем более близкие к моменту оценки.

Дюрация бескупонной облигации равна сроку n до ее погашения. В остальных случаях дюрация меньше n.

Пример 4.4.1

Две облигации номинала N = 1 000 приобретены за 3 года до погашения. Купоны выплачиваются один раз в году и равны 10 % и 20 % от номинала соответственно. Определить их дюрации при рыночной доходности i = 20 %.

Решение

Купонные доходы облигации равны соответственно

C₁= 0,1  1 000 = 100, C₂=0,2  1000 = 200.

Вычислим цену первой облигации

^.

Дюрация первой облигации равна

=

= 1  0,106 + 2  0,088 + 3  0,805 = 2,701.

Цена второй облигации равна номиналу 1000.

Дюрация второй облигации равна

⁼

= 1  0,167 + 2  0,1389 + 3  0,694 = 2,528.

Вывод: вторая облигация имеет меньший риск (ее купон 200 больше купона первой облигации).

4.4.2. Волатильность цены. Модифицированная дюрация

В 1939 г. Хиксом было установлено соотношение

^.

Модифицированная дюрация или волатильность цены определяется равенством

.

Пусть P (i) – цена облигации при исходной доходности i, P (i + Δ i) – цена облигации при изменении доходности на величину Δi .

Т

огда изменение цены ΔP = P (i + Δi) - P(i) можно приблизительно определить

.

Отсюда следует, что процентное изменение цены приблизительно

.

В

частности, при увеличении доходности на 1 %, т.е. при Δ i = 1 % получаем

,

т. е. модифицированная дюрация показывает, на сколько процентов приблизи-тельно уменьшиться цена облигации при увеличении доходности на 1 %.

Пример 4.4.2

Облигация номинала N = 1 000 приобретена за 3 года до погашения. Купоны выплачиваются один раз в году и равны 20 % от номинала. При рыночной доходности i = 20 % определить

1) модифицированную дюрацию

2) процентное изменение цены при рыночной доходности i = 21 %.

Решение

Модифицированная дюрация облигации равна

.

Отсюда следует, что при увеличении рыночной доходности на 1 % изменение цены облигации составит 2,107 % от её первоначальной цены 1 000,

,

т.е. цена будет приблизительно равна

P = 1000 – 21,07 = 978,93.

Найдем точное процентное изменение цены. Новая цена облигации при доходности 21 % будет равна

.

Процентное изменение цены составляет

(модифицированная дюрация 2,107%).