1.5. Начисление процентов с учетом инфляции

Изучаемые вопросы:

• Темп инфляции.

• Наращение с учетом инфляции.

• Брутто-ставка.

• Реальная ставка процентов.

В рассмотренных выше методах наращения не учитывалось снижение покупательной способности денег за период их наращения.

Обозначим через:

n – срок ссуды;

S – наращенную сумму денег, измеренную по номиналу;

C – наращенную сумму денег с учетом инфляции.

1.5.1. Темп инфляции

Индекс цен J_p показывает во сколько раз изменились цены за период наращения.

Темпом инфляции h называется относительный прирост цен за рассматриваемый период

h = ( J_p – 1);

J_p = 1 + h.

Например, если темп инфляции за период составляет 50 %, то J_п = 1,5. Индекс цен за n периодов равен произведению индексов цен за каждый период

.

Если темп инфляции – постоянный и равен h, то

.

1.5.2. Наращение с учетом инфляции

Обозначим через

n – срок ссуды;

S – наращенную сумму денег, измеренную по номиналу;

C – наращенную сумму денег с учетом инфляции.

Тогда наращенная сумма денег с учетом инфляции

^.

1) Для схемы наращения по простым процентам имеем

и при неизменном темпе инфляции

.

Если процентная ставка

,

наращение компенсирует инфляцию и C = P.

Если процентная ставка

,

наращение будет меньше инфляции и C < P.

Если процентная ставка

,

наращение будет больше инфляции и C > P .

2) Для схемы наращения по сложным процентам имеем

.

и при неизменном темпе инфляции

.

Если темп инфляции равен процентной ставке h = i, то наращение будет поглощаться инфляцией и C = P.

Если темп инфляции больше процентной ставки h > i, то наращение будет меньше инфляции и C < P.

Если темп инфляции меньше процентной ставки h < i, то наращение будет больше инфляции и C > P.

Пример 1.5.1

В банк положили сумму 150 000 на 3 месяца. Найти сумму вклада и процентные деньги при начислении простых процентов со ставкой 12 % годовых. Найти наращенную сумму с учетом темпа инфляции h = 0,5 % в месяц.

Решение

Найдем наращенную сумму вклада без учета инфляции по формуле

S = P (1 +i ∙ m /12) = 150 000 (1+0,12∙3/12) = 154 500.

Индекс цен равен

J_p = (1 + h)ⁿ = (1 + 0,05)³ = 1,015.

Тогда наращенная сумма с учетом инфляции равна

C = S / J_p = 154 500 / 1,015 = 152 205,48.

Пример 1.5.2

В банк положили сумму 150 000 на 2 года. Найти сумму вклада и процентные деньги при начислении сложных процентов со ставкой 12 % годовых. Найти наращенную сумму с учетом темпа инфляции 0,5 % в год.

Решение

Найдем наращенную сумму вклада без учета инфляции по формуле

S = P (1 + i)ⁿ = 150 000 (1 + 0,12) ² = 188 160.

Индекс цен равен

J_p = (1 + h)ⁿ = (1+0,05)² =1,01.

Тогда наращенная сумма с учетом инфляции равна

C = S / J_p = 188 160/1,01 = 186 292,4.

1.5.3. Брутто-ставка

Чтобы компенсировать обесценивание денег, увеличивают ставку процента, которую называют брутто-ставкой, которую обозначим r.

Для простых процентов брутто-ставку r находим из равенства

^.

Отсюда

.

Если темп инфляции равен h, то для сложных процентов брутто-ставку r находим из равенства

.

Отсюда

^.

Величина называется инфляционной премией.