1.1.4. Переменные процентные ставки

Формулы наращенных сумм для простых и сложных процентов предполагают постоянную процентную ставку в течение всего срока ссуды.

Пусть ставка процента изменяется k раз и

t₁, t₂ ,…,t_k

обозначают промежутки времени (в долях года), в течение которых действовали постоянные ставки

i₁, i₂, …, i_k .

Тогда наращенная сумма по схеме простых процентов определяется по формуле

S = P (1 + t₁i₁ + t₂ i₂ +…+ t_k i_k) . (1.1.7)

Аналогичным образом определяется формула для сложных процентов

. (1.1.8)

Пример 1.1.4

Вкладчик положил в банк 20 000 на 4 года под 10 % годовых. Согласно контракту, банк имеет возможность изменить процентную ставку в зависимости от ставки рефинансирования Банка России. Поэтому через три года с момента открытия вклада банк изменил процентную ставку на 9 %. Какие суммы получит вкладчик при начислении простых и сложных процентов?

Решение

Из условий следует: Р = 20 000 руб., i₁ = 10 %, t₁ = 3 года, i₂ = 9 %, t₂ = 1 год. По формуле (1.1.7) получаем сумму вклада через 4 года для схемы простых процентов

S = 20 000(1 + 0,13 + 0,09) = 20 000  1,2 = 24 000.

По формуле (1.1.8) получаем сумму вклада через 4 года для схемы сложных процентов

S = 20 000(1 + 0,1)³(1 + 0,09)¹ = 20 000  1,3311.09 =29 015,8.

1.2. Дисконтирование денежных сумм

Изучаемые вопросы:

• Дисконтирование по простой процентной ставке.

• Дисконтирование по сложной процентной ставке.

• Непрерывное дисконтирование. Банковский учет.

Дисконтирование позволяет учитывать в финансовых операциях фактор времени. Различают математическое дисконтирование и коммерческий (или банковский) учет.

Простейшую задачу математического дисконтирования можно сформулировать так: определить какую сумму Р нужно поместить в банк под i процентов годовых, чтобы через n лет получить сумму, равную S.

Сумма Р называется современной или приведенной стоимостью.

1.2.1. Дисконтирование по простой процентной ставке

Из формулы наращенной суммы по простой процентной ставке

S = P (1 + n  i)

найдем приведенную (современную) стоимость Р:

. (1.2.1)

Если срок ссуды t выражается в долях года, приведенная (современная) стоимость по простой процентной ставке

. (1.2.2)

1.2.2. Дисконтирование по сложной процентной ставке

Из формулы вычисления наращенной суммы по сложной процентной ставке

S = P(1+ i) ⁿ

найдем приведенную ( современную) стоимость Р:

. (1.2.3)

Коэффициент

называется дисконтным множителем.

Если срок ссуды t выражается в долях года, то приведенная (современная) стоимость для сложной процентной ставки имеет вид

. (1.2.4)

Пример 1.2.1

Какую сумму следует поместить на 4 года под 10 % годовых для накоп-ления суммы 1 000 000 руб.? Провести расчеты по схемам простых и сложных процентов.

Решение

Из условия задачи следует: n = 4, i = 10 %, S = 1 000 000 руб. По формулам (1.2.1) и (1.2.3) получаем современные стоимости для простых и сложных процентов

(руб).

.

1.2.3. Непрерывное дисконтирование

Пусть годовая процентная ставка равна j и начисление процентов производится m раз в году. Тогда за n лет проценты начисляются mn раз по процентной ставке j / m. Формула для приведенной стоимости будет иметь вид

. ( 1.2.5)

Е

сли число начислений процентов m стремится к бесконечности, то из формулы (1.2.5) получаем формулу для непрерывного дисконтирования

P = S e^-jn.