Пример 1.3.3

Проверить эквивалентность двух денежных сумм:

S₁ =500 тыс. руб. через t₁ = 4 года и

S₂ =600 тыс. руб. через t₂ = 6 лет, если сложная ставка сравнения 10 %.

Решение

Найдем современное значение S₁ =500:

Найдем современное значение S₂ =600:

Отсюда следует, что указанные суммы не являются эквивалентными при ставке сравнения 10 %: доход S₁ =500 тыс. руб. через 4 года выгоднее, чем доход S₂ =600 тыс. руб. через 6 лет.

1.4. Начисление процентов с учетом налогов

Изучаемые вопросы:

• Начисление простых процентов с учетом налогов.

• Начисление сложных процентов с учетом налогов

Учет налогов уменьшает, полученную вкладчиком, наращенную сумму. Обозначим через

P – первоначальную сумму вклада;

n – срок вклада;

S – наращенную сумму до выплаты налогов;

С – наращенную сумму после выплаты налогов;

g – ставку налога на проценты;

G – общую сумму налога.

1.4.1. Рассмотрим схему начисления простых процентов

Общая сумма налога G равна g процентов от процентных денег I

G = (S - P) g = P n g i.

Тогда наращенная сумма после выплаты налогов С будет равна

C = S- G= P [1 + n (1 - g) i],

т.е. для получения реального наращения нужно процентную ставку i заменить на процентную ставку (1 – g) i.

1.4.2. Рассмотрим схему начисления сложных процентов

При долгосрочных операциях начисление налога производится на сложные проценты. Здесь возможны два варианта: налог начисляется на всю сумму процентов сразу и последовательно в конце каждого года.

В первом варианте общая сумма налога будет равна

G = (S - P) g = P[ (1 + i)ⁿ-1] g.

Тогда наращенная сумма после выплаты налогов составит

C = P[(1 - g) (1 + i)ⁿ + g].

Во втором варианте сумма налога начисляется за каждый год. Налог G_t за год t рассчитывается по формуле

G_t = (S_t – S_t-1) g = P(1+i)^{t -1}ig.

За весь срок налог равен сумме налогов за каждый год

.

Пример 1.4.1

Пусть первоначальная сумма вклада P = 100 000, срок вклада n = 3 года; процентная ставка i = 10 %. Определить размеры налога на проценты при начислении простых и сложных процентов при ставке налога 5 %.

Решение

1. Схема начисления простых процентов.

Наращенная сумма без налога S = P (1 + n i) = 100 000 (1 + 3 * 0,1) = 130 000.

Общая сумма налога

G = (S - P) g = (130 000 - 100 000) 0,005 = 1 500.

Тогда наращенная сумма после выплаты налогов будет равна

C = S - G = 130 000 - 1 500 = 128 500.

2. Схема начисления сложных процентов.

Наращенная сумма без налога

S = P (1 + i) ^т = 100 000 (1 + 0,1)³ = 133 100.

Первый вариант

Налог на всю сумму процентов равен

G = (S - P) g = (131 445 - 100 000) * 0,05= 1 655.

Тогда наращенная сумма после выплаты налогов будет равна

C = (S - G) = 133 100-1 655 =131 445.

Второй вариант

Выплата налога в конце каждого года.

За первый год t = 1 выплачивается налог

G₁ = P (1 + i)^1-1 i g = 100 000 * 0,1 * 0,05 = 500.

За второй год t = 2 выплачивается налог

G₁ = P(1 + i)^2-1 i g = 100 000 * 1,1 * 0,1 * 0,05 = 550.

За третий год t = 3 выплачивается налог

G₁= P(1 + i)^3-1 i g = 100 0001,1² * 0,1 * 0,05 = 605.

За весь срок налог равен

G =500 + 550 + 605 = 1655.

Тогда наращенная сумма после выплаты налогов будет равна

C = (S - G) = 133100 - 1655 = 131 445.