2.3.1. Формула наращенной суммы, в которой начисление процентов и поступления платежей совпадают по времени
В начале рассмотрим постоянную ренту, в которой начисление процентов и поступления платежей совпадают по времени m = p. Для получения наращенной суммы необходимо заменить номинальную ставку j на процентную ставку за один период j / m и число периодов n заменить на новое число периодов n m. Годовой платеж R нужно заменить на платеж за период R / m.Тогда получим формулу для наращенной суммы
или
Пример 2.3.1
Вкладчик в конце каждого месяца помещает в банк 1 000. Проценты начисляются ежемесячно по годовой ставке сложных процентов, равной 12 %. Определить наращенную сумму на счете вкладчика через 2 года.
Решение
Из условий следует, что
срок ренты n = 2 года,
число начислений процентов равно числу платежей за год p = m = 12 раз, т.е. nm = 12 2 = 24,
номинальная ставка j = 12 % ,
п
Процентная ставка и платеж на один период (месяц) будут равны
.
По первой из формул находим наращенную сумму
=
=100 000 (1,2697346 - 1) = 26 973,46.
2.3.2. Формула наращенной суммы, в которой начисление процентов и поступления платежей не совпадают по времени
Для p-срочной ренты c начислением процентов m раз в году m p можно показать, что наращенная сумма равна
.
Пример 2.3.2
В течение трех лет (n = 3) в конце каждого месяца поступают платежи (p = 12) равными долями из расчета 480 000 руб. в год, на которые начисляются ежеквартально (m = 4) сложные проценты 12 % годовых. Найти наращенную сумму ренты.
Решение
Из формулы получаем
.
2.4. Современная стоимость ренты
Изучаемые вопросы:
Современная стоимость годовой ренты постнумерандо.
Современная стоимость годовой ренты пренумерандо.
Современная стоимость ренты с взносом в конце срока.
Формула современной стоимости постоянной p-срочной ренты.
При анализе будущих доходов необходимо учитывать их неравноценность во времени.
Пусть
R – размер годового платежа,
i – годовая процентная ставка,
n – срок ренты,
P – современная стоимость ренты.
Сумма приведенных платежей называется современной стоимостью ренты.
2.4.1. Современная стоимость годовой ренты постнумерандо
Приведенная
стоимость первого платежа будет равна
.
Приведенная
стоимость второго платежа будет равна
.
Приведенные платежи образуют геометрическую прогрессию
,
,
…,
.
Тогда современная стоимость годовой ренты постнумерандо равна
,
.
(2.4.1)
Величина
называется
коэффициентом приведения ренты.
Современную стоимость P ренты можно найти, дисконтируя будущую стоимость этой ренты S
.
(2.4.2)
2.4.2. Современная стоимость годовой ренты пренумерандо
Первое
поступление R
имеет срок дисконтирования 0 год,
.
Тогда современная стоимость годовой ренты пренумерандо равна
.
(2.4.3)
Заметим, что современные стоимости доходов постнумерандо и пренумерандо связаны равенством
.
Пример 2.4.1
Допустим, что проект будет ежегодно в течение 3 лет приносить доход по 100 000. Найти современную стоимость будущих доходов при ставке приведения 10 % .
Решение
1) Предположим, что доходы в 100 000 поступают в конце каждого года (постнумерандо).
Вычислим современную стоимость по формуле (2.4.1)
.
Каждое слагаемое этой суммы означает современную стоимость дохода, поступившего в конце года.
2) Предположим, что доходы поступают в начале каждого года (пренумерандо). Тогда современная стоимость всех доходов пренумерандо будет равна
.