Лабораторная работа №1 Влияние среды на распространение волн. Потери энергии сейсмических волн при сферическом расхождении и поглощении
Краткая теория
Плотность энергии; интенсивность
Р
Рис. 1 Фронты S1
и S2
сферической волны, расходящейся от
центра соответственно радиусов r1
и r2
и = А cos (ωt + ),
где t - время, ω - круговая частота, - фазовый угол. Амплитуда смещения и изменяется от -А до +А. Поскольку смещение меняется со временем, каждый элемент среды имеет скорость = du/dt и связанную с ней кинетическую энергию dEk. В каждом элементе объема dV с плотностью , она равна
dEk, = ( dV) ²/2
Плотность кинетической энергии составит
E = dEk/ dV = ²/2 = ω²А²sin²(ωt + )/2
Это выражение изменяется от нуля до максимума, равного ω²А²/2
С волной связана также потенциальная энергия, обусловленная упругими деформациями, которые возникают при прохождении волны. По мере колебания среды энергия переходит из кинетической в потенциальную и обратно, полная же энергия остается неизменной. Когда смещение частицы равно нулю, потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая — максимальна, а при максимальном смещении частицы от исходного положения вся энергия является потенциальной. Поскольку полная энергия равна максимальному значению кинетической энергии, плотность энергии Е для гармонической волны равна
Е = ω²А²/2 = 2² f²А²
Таким образом, плотность энергии пропорциональна первой степени плотности среды и квадратам частоты и амплитуды волны.
Интересующей нас величиной является также плотность потока энергии, то количество энергии, протекающей через единичную площадку, нормальную к направлению распространения волны, в единицу времени. Рассмотрим цилиндр бесконечно малого поперечного сечения dS, ось которого параллельна направлению распространения волны, а длина равна расстоянию, пройденному ею за время dt. Полная энергия, заключенная внутри цилиндра высотой dt в момент времени t, составляет EdtdS. В момент t + dt вся эта энергия покинет цилиндр, пройдя через один из его торцов. Поделив ее на площадь основания цилиндра dS и на интервал времени dt, получим плотность потока энергии (или интенсивность) - количество энергии, проходящей через единичную площадь за единицу времени:
I = E
Для гармонической волны имеем
I = ω²А²/2= 2² f²А²
На рис.1 показан фронт сферической волны, расходящейся от центра. Рассмотрим два участка волновых фронтов S1 и S2 радиусов r1 и r2 соответственно. Энергия, протекающая наружу через сферический «колпачок» S1 за одну секунду, должна быть равна энергии, протекающей наружу за одну секунду через сферический «колпачок» S2 (так как энергия перемещается только в радиальном направлении). Поток энергии за секунду равен произведению интенсивности на площадь, поэтому
I1 dS1= I2 dS2.
Поскольку площади S1 и S2 пропорциональны квадратам их радиусов, получаем
I1/I2 = Е2/Е1 = S1/S2 = (r1/r2)2.
Таким образом, геометрическое (сферическое) расхождение энергии приводит к тому, что интенсивность и плотность энергии сферических волн уменьшаются обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. У плоской волны лучи не расходятся. Рис. 1 можно рассматривать как поперечное сечение цилиндрической волны, возбужденной очень длинным линейным источником. Дуги dS1 и dS2 представляют собой цилиндрические волновые фронты. Поскольку длина дуг пропорциональна радиусу, цилиндрическое расхождение приводит к изменению интенсивности обратно пропорционально радиусу:
I1/I2 = Е2/Е1 = (r1/r2)m
где т = 0,1 или 2 соответствуют плоской, цилиндрической или сферической волнам.
Отношения интенсивностей, энергий или мощностей, как правило, выражают в децибелах (дБ). Значение в децибелах представляет собой 10·lg от отношения интенсивностей, энергий или мощностей. Поскольку интенсивности изменяются как квадрат амплитуды, значение в децибелах задается также как 20·lg от отношения амплитуд.
Поглощение
Рассмотрим еще два механизма, заставляющие уменьшаться плотность энергии волны. В реальной действительности по мере прохождения волн через среду упругая энергия, связанная с волновым движением распределяется не только в зависимости от геометрии задачи, но постепенно поглощается этой средой, переходя, в конце концов, в тепло. Этот процесс называется поглощением. За счет него волновое движение в итоге полностью исчезает.
Поглощение меняется с частотой, поэтому измерить его очень трудно. Результаты лабораторных измерений, производимых всегда на высоких частотах, нельзя переносить на реальные полевые условия. При полевых измерениях нужно учитывать эффекты отражения и преломления, и то, что путь волн проходит по нескольким средам. Трудности измерений приводят к сильным различиям в измеренных значениях поглощения.
При распространении упругих волн в горных породах амплитуда их вследствие поглощения уменьшается с расстоянием, по-видимому, по экспоненциальному закону. Следовательно, можно написать зависимость для уменьшения амплитуды из-за одного только поглощения
А=А0·e-x,
где А и А0 — значения амплитуды волны в двух точках волнового фронта на расстоянии х друг от друга в направлении распространения волны, а α - коэффициент поглощения.
Другим показателем поглощения является коэффициентом затухания, который основывается на уменьшении амплитуды со временем:
А = А0е -ht cos ωt,
где t – задержка по времени между двумя точками волнового фронта.
Кроме того, для оценки поглощающих свойств среды удобно пользоваться логарифмическим декрементом затухания , который определяется по формуле:
Его можно выразить через коэффициент затухания как
= hT = h/f = 2πh/ω
где Т – период. измеряется в неперах. Непер - это натуральный логарифм отношения амплитуд. Аналогично измеряется в децибелах на длину волны.
Экспериментальные данные позволяют предположить, что коэффициент поглощения приблизительно пропорционален частоте, т. е. для конкретной породы произведение (или ) — примерно постоянная величина. Измерения декремента поглощения в общем распадаются на диапазоны, показанные в табл. 1. Значения для S-волн, в среднем, составляют 1/2—1/3 от значений для Р-волн.
Таблица 1
Логарифмический декремент поглощения