1.2.17. Приклади ламінарного руху

В гідравліці виведені залежності для швидкості ламінарного руху часток рідини. Для труб:

, (1.133)

де — п’єзометричний похил, — кінематичний коефіцієнт в’язкості (молекулярної), — радіус труби, — відстань від вісі труби до даної точки (частки води). Також:

, (1.134)

де — швидкість часток, що рухаються по вісі потоку, .

Для широкого прямокутного русла:

, (1.135)

де J — похил вільної поверхні, h — глибина потоку, z — відстань від поверхні до заданої точки. Для поверхні z = 0, а:

. (1.136)

Якщо розглядати середню швидкість для всієї труби, то вона складає половину від :

. (1.137)

Основним прикладом ламінарного руху в природі є фільтрація підземних вод у пористому середовищі. Уявимо собі трубку заповнену піском. Площа її перетину складає:

, (1.138)

де — сумарна площа перетину пор. — сумарна площа перетину часток. Якщо розглядати дійсну середню поступальну швидкість руху води, то вона може бути розрахована через відповідну витрату (Q):

(1.139)

Поряд з цим говорять про швидкість фільтрації:

(1.140)

Як бачимо, u — фіктивна (уявна) швидкість, яка буде завжди менша за дійсну. Можна показати, що

, (1.141)

де n — пористість ґрунту у безрозмірних одиницях. В середині ХІХ століття були проведені досліди з фільтрацією в пісках та глинах. Була встановлена формула, яку називають формулою Дарсі:

, (1.142)

де — п’єзометричний похил в даній точці, а — коефіцієнт фільтрації. Він має розмірність швидкості і дорівнює швидкості фільтрації при . При визначеній (сталій) температурі води , а — залежить тільки від характеристик ґрунту. Якщо порівнювати формулу Дарсі з формулами ламінарного руху води в трубах, то бачимо, що в ній немає величини . Це пов’язано з тим, що для даного ґрунту і враховується коефіцієнті фільтрації автоматично.

Оскільки , маємо:

. (1.143)

Це також формула Дарсі. Вона має певні межі застосування. Вважають, що, якщо прийняти , то формулу можна застосовувати в межах:

, (1.144)

де d — середній діаметр часток ґрунту в см, u — швидкість фільтрації в см/с. Якщо добуток ud перевищує дані значення, то фільтрація стає турбулентною.

Формулу Дарсі можна застосувати для аналізу сталого рівномірного руху ґрунтових вод. Якщо це безнапірний потік, то , де J — поздовжній похил вільної поверхні. Оскільки , де В — ширина потоку, а h_c — середня глибина, отримуємо:

, (1.145)

де q — так-звана одинична витрата, тобто витрата на одиницю ширини потоку (витрата через вертикаль, або на вертикалі). Одиниці вимірювання q-м²/с.

Також можна записати:

. (1.146)

Аналогічні до розглянутих вище закономірності руху води використовуються у дослідженнях боліт.

Цікавим прикладом ламінарного руху є рух льодовиків. Перші спроби виміряти відповідні швидкості були зроблені ще у другій половині ХVІІІ століття. Але дослідження можливості застосування законів ламінарного руху рідини відносяться до першої половини ХХ століття. Можна записати:

, (1.147)

де — швидкість руху льодовика, — його потужність (в метрах), — поздовжній похил поверхні, — розмірний емпіричний коефіцієнт. При такому підході найбільші швидкості руху спостерігаються у приповерхневих шарах.

Насправді рух льодовиків більш складний тому, з одного боку, дослідження застосування законів ламінарного руху для них потребували значних зусиль і були суперечливими, а з другого боку, ці закони мають певні обмеження застосування.