1.2.15. Рух поверхневих водотоків

Як видно з рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини на ділянці між обраними перетинами потік поступово витрачає енергію на подолання опору руху. Цей опір прийнято називати гідравлічним. Розрізняють два його види:

1) втрати напору по довжині потоку (рівномірні), викликані тертям всередині рідини та між рідиною та твердими стінками;

2) місцеві втрати напору, що діють (проявляються) лише в окремих місцях, де існують різні зміни (особливості) умов протікання. У загальному вигляді для ділянки потоку можна записати:

(1.92)

де — загальні втрати напору; — втрати по довжині; — сума місцевих втрат. Втрачена механічна енергія переходить у теплову . є також роботою сил тертя. Між ними існує певна залежність. Розглянемо її на простому прикладі сталого рівномірного руху при наявності лише втрат по довжині.

Виділяємо у потоці перетини 1-1 та 2-2 та між ними ділянку довжиною l.

Знаходимо центри перетинів та . Проводимо через них вісь потоку S. Навколо неї виділяємо об’єм призматичної форми, з постійним по довжині перетином . Намічаємо горизонтальну площину порівняння 00. Позначаємо перевищення над нею (висоти, положення) центрів тяжіння перетинів та .

З механіки відомо, що прямолінійний рівномірний рух відбувається при умові врівноваженості всіх діючих сил. Розглянемо їх.

1. Сила тяжіння.

(1.93)

Її проекція на вісь S буде:

, (1.94)

де — кут нахилу вісі потоку (а також, при рівномірному русі лінії дна) до горизонту.

З малюнка бачимо, що:

(1.95)

Значить:

(1.96)

2. Сили тиску.

На верхній та нижній зрізи виділеного об’єму (торцеві перетини) вони, відповідно, складають:

та , (1.97)

де та — гідродинамічний тиск у центрах перетинів 1-1 та 2-2. Вектори цих сил діють поздовж вісі S, але у різних напрямках.

3. Проекції нормальних (бокових, перпендикулярних) сил гідродинамічного тиску на бокову поверхню виділеного об’єму в сумі дорівнюють нулю.

4. Сили тертя T.

Створюються рівномірно на всій боковій поверхні виділеного об’єму відповідно до характерних значень дотичних напруг:

(1.98)

де — змочений периметр.

Сили тертя слід розглянути детальніше. Їх можна поділити на дві групи. Перша включає взаємодію між частками всередині виділеного об’єму. Оскільки вони рухаються з різними швидкостями між ними виникають парні сили внутрішнього тертя. Але їх загальна, для всього об’єму, рівнодіюча дорівнює нулю. Друга група — це тертя на межах потоку (або його частини). Саме тут формується сила, що діє проти течії.

Розглядаємо суму всіх діючих сил:

. (1.99)

Розділимо весь вираз на :

(1.100)

Запишемо тепер для виділеного об’єму рівняння Бернуллі:

(1.101)

де , для рівномірного потоку, — втрата напору на ділянці l. Отримуємо:

. (1.102)

Підставляємо (1.102) у (1.100):

. (1.103)

Звідки:

. (1.104)

Відношення показує втрати напору на одиницю довжини потоку і являється гідровлічним похилом — . Відношення це гідрав-лічний радіус — R. Отримуємо:

. (1.105)

Цей вираз називають основним рівнянням рівномірного руху потоків рідини.

З наведених даних також видно, що при безнапірному (вільному) рівномірному русі гідравлічний похил , п’єзометричний похил та геометричний похил — дна та вільної поверхні рівні між собою:

.

При напірному русі заміняють на :

. (1.106)

При розгляді ламінарного та турбулентного руху ми розглядали залежність між та . Оскільки рух води в річках завжди турбулентний, то для них можемо записати:

, (1.107)

де — певний безрозмірний коефіцієнт пропорційності. Підставляємо цей вираз в основне рівняння рівномірного руху:

. (1.108)

Оскільки ми одразу вважали, що діють лише втрати по довжині, то . Значить:

. (1.109)

Позначимо , де — коефіцієнт гідравлічного тертя. Отримаємо:

. (1.110)

Ця формула широко використовується в гідравліці. Якщо повернутися до (1.108), то бачимо, що

. (1.111)

Позначимо :

, (1.112)

де h — середня глибина плоского потоку (див. 1.2.).

Ця формула вперше була отримана Шезі у 1775 році. Він вважав коефіцієнт с — сталим. Потім її стали називати формулою Шезі, а с — коефіцієнтом Шезі. Вияснилось, що він досить сильно змінюється. У теперішній час існує величезна кількість методів визначення цього коефіцієнту. Це вказує на досить складну його природу. Показано, що він залежить від шорсткості стінок, поздовжнього похилу та гідравлічного радіусу потоку. Шорсткість стінок визначають як шляхом прямих досліджень так і переважно по шкалам-таблицям, у яких наведено словесні (якісні) описи різних твердих поверхонь. Існує, зокрема, шкала для русел річок.

Різноманітність поверхневих потоків суходолу та характеристик їх руху надзвичайно велика. Це можуть бути і тонкі, плівкові ламінарні потоки, і перехідні, і турбулентні мікропотоки на схилах, в межах льодових та сніжних утворень, бурхливі потоки в ярах, потоки складного характеру в гирлових ділянках річок і т. д. Їх дослідження проводяться як з використанням методів гідравліки так і методів теоретичної гідромеханіки, теорії турбулентності та інших підходів. Знання закономірностей руху водних потоків допомагає вивчати гідрологічні явища та процеси.

Особливим питанням є транспортування водними потоками суходолу твердих часток — наносів. Їх виникнення пов’язане з ерозією (літ. erosio — роз’їдання) ґрунтів та порід. Вона відбувається практично скрізь на поверхні суходолу (навіть в пустелях деколи бувають зливи і утворюються тимчасові водотоки). Ерозія залежить від енергії (потужності) потоку. Розглянемо деяку його ділянку довжиною L (км), на якій відмітки дна зменшуються від (м) до (м). За певний період по ній протікає об’єм води W (м³). Його вага складає (кг), де — питома вага води . Для прісної води її значення можна прийняти . Таким чином робота, що виконується силою тяжіння, або енергія потоку на даній ділянці за період часу буде складати:

. (1.113)

Одиниці вимірювання будуть такі:

. (1.114)

Якщо підставити значення , то отримаємо:

. (1.115)

Перейдемо від роботи до потужності потоку:

. (1.116)

де Q — середня витрата потоку. Якщо тепер перейти до потужності на 1 км довжини, то отримаємо:

, (1.117)

де — питома (кілометрова) потужність, — середній поздовжній похил дна, що виражається в м/км, або ‰. Величину називають живою силою потоку. Вона відіграє надзвичайно велику роль в транспортуванні наносів і розвитку річкових русел та заплав (тобто у всьому комплексі ерозійно-акумулятивних процесів). Нагадаємо, що живою силою ми називали також величину , коли розглядали зміст рівняння Бернуллі. За формулою Шезі , де h — середня глибина потоку. Якщо врахувати, що , то загальна жива сила буде:

, (1.118)

де B — ширина потоку. Порівнюємо загальну та питому живу силу:

. (1.119)

Звідси бачимо, що у фізичному відношенні це різні характеристики (енергія та потужність, питома та загальна величина). Це можна пояснити також наступним чином:

, (1.120)

де t — час, за який частки потоку проходять відстань l. При цьому величина буде вже не питомою енергією, а питомою потужністю (що відноситься до певної точки, або вертикалі). Її добуток на Bl, тобто на площу поверхні потоку буде виражати його загальну питому потужність.

В цілому поняття про рух наносів буде розглянуто в розділі присвяченому гідрології річок (2.4). Але тут слід зауважити, що опис таких закономірностей — дуже складна гідродинамічна задача.