1.2.13. Рівняння нерозривності

Рівняння нерозривності базується на законі збереження речовини та припущенні суцільності потоку рідини.

Якщо розглядати ділянку сталого потоку на якій відсут-ній боковий притік, або відтік рідини і немає розривів чи стискання, то об’єм, що поступив через верхній переріз за певний проміжок часу повинен дорівнювати об’єму, що вийшов через нижній за цей же проміжок часу:

(1.77)

або

(1.78)

Це саме можна припустити і для інших перерізів. Тобто:

(1.79)

При сталому русі і відсутності бокового обміну витрата води у всіх перетинах зберігається однаковою. Тому рівняння нерозривності має вигляд:

(1.80)

де S — шлях поздовж потоку. Якщо у (1.78) підставити , то отримуємо:

(1.81)

середні швидкості потоку зворотно пропорційні площам живих перетинів.

Описані закономірності базуються на припущенні нестискаємості та нерозривності рідини. Тому правильна назва рівняння нерозривності повинна була б бути: рівняння нестискаємості та нерозривності (сплошності) руху рідини. Але історично закріпилася перша.

Рівняння нерозривності для нестискаємої рідини, записане в диференціальній формі має такий вигляд:

(1.82)

Це рівняння є одним з фундаментальних у гідромеханіці. У строгій формі воно виводиться і для стискаємої рідини (газу) і для несталого руху. У першому випадку враховують зміни густини всередині заданого об’єму (рідкого тіла), а у другому — зміну об’єму за період часу dt.

1.2.14. Рівняння Бернуллі

Потік рідини володіє певною потенційною та кінетичною енергією. Для елементарного струменя ідеальної рідини загальна енергія повинна зберігатися. Для того щоб вивести рівняння Бернуллі використовують таку теорему механіки: зміна кінетичної енергії тіла, що розглядається, на деякому його переміщенні дорівнює сумі робіт всіх сил (зовнішніх та внутрішніх), що докладені до даного тіла на цьому ж переміщенні. Таким чином слід розглядати роботу всіх видів сил над ділянкою елементарного струменя і зміну його кінетичної енергії від початкового та кінцевого живого перерізу. В даному випадку діють: сила тяжіння, сили гідродинамічного тиску та сили зовнішнього тиску. Зміни потенційної енергії враховані роботою сили тяжіння. В результаті отримують таке рівняння:

(поздовж струменя), (1.83)

де Z — висота положення (відмітка); Р — гідродинамічний тиск; u — швидкість течії. Це рівняння розкриває найбільш загальних зв’язок між тиском та швидкістю руху часток в потоках рідини. Його в якісній (усній) формі описав Даниїл Бернуллі у 1738 році. Воно стосується сталого руху. Для несталого руху всі величини змінюються у часі.

При переході до реальної рідини слід врахувати додатково роботу сил тертя. Вони переводять частину механічної енергії у теплову. Ця частина називається втратами енергії. Їм відповідає зменшення загального напору H. Внаслідок цього рівняння Бернуллі приймає вигляд:

(1.84)

або

(1.85)

Нагадаємо (1.2.8), що напір це енергія, віднесена до одиниці ваги. Він має геометричний (висота) та енергетичний аспекти. Тому, відповідно, говорять про геометричну та енергетичну трактовку (інтерпретацію) рівняння. В геометричній трактовці Z — це перевищення над певною площиною порівняння.

— п’єзометрична висота, що відповідає гідродинамічному тиску Р у точці. — швидкісний напір (деколи його називають живою силою). Це висота, на яку може бути припіднятий стовпчик води завдяки кінетичній енергії набігаючого потоку. Її виміряють за допомогою так-званих трубок Піто. (За рахунок прямого зрізу отвору потік створює тиск на воду у трубці і «нагоняє» її до висоти . Якщо ж ввести замість такої трубки обтічний, спеціально сконструйований зонд, то він не буде показувати додатковий тиск.

Зонд можна замінити п’єзометричною трубкою, у якої площина отвору горизонтальна. Плавна лінія, що з’єднує рівні води (рідини) в п’єзометричних трубках називається п’єзометричною. Її елементарне падіння віднесене до елементарної довжини (dS) називається п’єзометричним похилом:

. (1.86)

На звужених ділянках потоку частина п’єзометричної висоти переходить у швидкісний напір і тому п’єзометри будуть показувати занижені відліки.

Значить тиск рідини менший там, де швидкості течії більші і навпаки. Ця залежність відома як закон Бернуллі. Ефекти пов’язані з нею використовують у водоструменевих насосах та пульверизаторах. Загальна сума напорів (висот) у потоці рідини називається повним напором:

(1.87)

Плавна лінія, що з’єднує рівні води в трубках Піто називається напірною. Її питоме падіння називають гідравлічним похилом:

(1.88)

У рівномірних потоках з вільною поверхнею він співпадає з геометричним похилом дна .

Енергетична трактовка рівняння Бернуллі розглядає різні види енергії. Питома енергія гідродинамічного тиску та положення разом складають питому потенційну енергію:

(1.89)

Енергетичний вираз для повного напору можна представити так:

(1.90)

де — питома кінетична енергія. Для втрат енергії на тертя вводять позначення .

Перехід від елементарного струменя до всього потоку при аналізі рівняння Бернуллі пов’язаний з дослідженнями нерівномірності розподілу швидкостей у живому перерізі.

Після цього рівняння приймає такий вигляд:

(1.91)

де — середня швидкість потоку у живому перерізі, — загальні втрати напору всім потоком на даній ділянці, — коефіцієнт. Цей коефіцієнт називають корективом кінечної енергії потоку, коефіцієнтом Коріоліса, корективом швидкості, коефіцієнтом нерівномірності розподілу швидкості по перерізу потоку. Якщо ж розглядають коректив кількості руху, то говорять про коефіцієнт Буссінеска . Обидва вони дещо більші одиниці, і тим більші, чим нерівномірніший розподіл швидкостей. На практиці часто приймають .

Рівняння Бернуллі широко застосовують у гідравліці, річковій гідравліці в деяких інших галузях. Але при дослідження рухів в океані використовують більш загальні рівняння.