1.2.12. Два режими руху рідини

На протязі XIX століття рядом дослідників було встановлено існування двох принципово різних режимів руху рідини. Найбільш повно це питання вивчив англійський фізик О.Рейнольдс у 1881-1883 роках. Тим самим він започаткував розвиток одної з найважливіших галузей гідродинаміки (і всієї фізики) — теорії турбулентності. Цей розвиток продовжується і до нині.

Рейнольдсом була створена спеціальна дослідна установка в якій зафарбовану рідину випускали з тонкої трубки в потік основної рідини (води). Внаслідок дослідів було встановлено, що при малих швидкостях потоку ( , де — критична швидкість) фарба тече тонким прямолінійним струменем. При швидкостях вона спочатку розпливається, а потім (при збільшенні швидкостей) одразу зафарбовує весь потік. Таким чином у першому випадку рідина тече паралельними шарами (струменями), а у другому — хаотично перемішується. Перший тип руху називають ламінарним (лат. lamina — пластинка), тобто шаруватим, плоским. Другий тип руху називають турбулентним (лат. turbulentus — безладний, невпорядкований), тобто вихрьовий, хаотичний. (Надалі поступово розвивались уявлення про структурованість, організованість турбулентного руху).

Рейнольдс провів також перші теоретичні дослідження турбулентності. Зокрема була запропонована формула для розрахунку . В сучасному записі вона має вигляд:

, (1.64)

де — кінематичний коефіцієнт в’язкості , — безрозмірне число Рейнольдса, — гідравлічний радіус потоку (см). Відповідно число Рейнольдса записують так:

. (1.65)

Вважають, що воно є показником розвинутості турбулентного руху.

Рейнольдс при виводі даної залежності використав так-званий метод розмірностей. Зробивши припущення, що залежить від трьох величин — густини рідини — динамічний коефіцієнт в’язкості та — діаметр труби, можна записати:

, (1.66)

де — невідомий постійний безрозмірний коефіцієнт. Запишемо розмірності величини:

, (1.67)

де — довжина, — час, — маса.

Значить:

. (1.68)

Перепишемо:

. (1.69)

Для того, щоб рівність виконувалась, показники степені у лівій та правій частинах повинні бути рівні. Тоді виникає система рівнянь:

(1.70)

Звідки: . Таким чином:

. (1.71)

Якщо замінити на , і D на R, то приходимо до визначення (1.66):

.

Дослідження Рейнольдса також показали, що різним режимам руху відповідають і різні залежності втрат енергії (напору) від швидкості течії. Графічно це можна відобразити так. На ділянці ОА залежність для втрат має лінійний характер:

, (1.72)

де — втрати на внутрішнє тертя в рідині, — коефіцієнт пропорційності для ламінарного руху. На ділянці ВС закон такий:

, (1.73)

де — коефіцієнт пропорційності для турбулентного руху, . На ділянці (в областях) АВ діє змішаний закон:

, (1.74)

У цій області особливо нестійкий ламінарний режим. При найменшій дії додаткових зовнішніх факторів він переходить у турбулентний. Слід також зауважити, що — набагато більший ніж . Витрачена механічна енергія переходить у теплову. Цей процес називається дисипація (розсіювання).

Внаслідок досліджень турбулентності було також встановлено, що перехід від турбулентного руху до ламінарного відбувається при більш низьких швидкостях ніж навпаки. Тому розрізняють критичну швидкість верхньої межі переходу — , та нижньої межі — . Відповідно розрізняють верхнє критичне та нижнє критичне числа Рейнольдса (хоча вони залежать не тільки від швидкості). У проміжку між ними можливе існування обидвох режимів руху:

, (1.75)

де — перехідні значення чисел. Дослідженням значень критичних чисел присвячено багато наукових праць. Вияснилося, що в різних умовах вони дещо різні. Крім того слід розрізняти числа розраховані по діаметру (труб) та по гідравлічному радіусу . За даними Рейнольдса нижнє критичне число становить 500-600, а за даними Зєгжда — 900-1000. Якщо приймати навіть це значення (1000), можна установити, що серед поверхневих водотоків та течій водойм практично не зустрічається ламінарний рух. Врахуємо, що значення складає приблизно . Для маленького потоку глибиною 0,2 м досягає значення 1000 при швидкості . Очевидно, що швидкості завжди більші. Якщо ж глибина складає 1м, то повинна становити . Таким чином ламінарний рух слід шукати тільки для потоків з надзвичайно малими глибинами (гідравлічними радіусами). Ними можуть бути плівкові та фільтраційні потоки на поверхні та в межах ґрунтів та порід. Особливим випадком є рух льодовиків, оскільки в’язкість льоду досягає (див. 1.2.6).

З турбулентним (звичайним) рухом пов’язане явище пульсації дійсних швидкостей потоку. Причому швидкості пульсують як за величиною, так і за напрямком (але говорять про пульсації трьох ортогональних компонентів).

Якщо неперервно вимірювати практично миттєві швидкості в точці потоку, то можна побудувати графік змін компонент швидкості.

Вивченням пульсацій швидкостей займається теорія турбулентності. Вони супроводжуються також пульсаціями тиску. Для розрахунків турбулентних потоків О.Рейнольдс (у 1895 р.) та Ж.Буссінеск (у 1897 р.) запропонували заміняти їх на де який уявний (модель), що являє собою умовний (фіктивний) потік рідини, частки якої рухаються зі швидкостями, що дорівнюють осередненим швидкостям, а місцевий гідродинамічний тиск також дорівнює осередненому в даній точці. Цей потік називають осередненим, або моделлю Рейнольдса-Буссінеска. В ній поперечні актуальні (миттєві місцеві) швидкості виключені з розгляду, тобто не відбувається поперечний обмін.

Для того, щоб врахувати його вплив в реальних умовах, було запропоновано ввести у модель поздовжні дотичні напруги . Їх величини повинні бути такі, щоб вплив на розподіл поздовжніх швидкостей максимально відповідав впливу виключеного з розгляду поперечного обміну (поперечних швидкостей). Таким чином це уявні напруги, і за аналогією до ламінарного руху для них вводять (на пропозицію Буссінеска) закон, подібний до закону тертя Ньютона:

, (1.76)

де А — коефіцієнт турбулентного обміну. Його часто називають динамічним коефіцієнтом турбулентної в’язкості. Про деякі його застосування буде сказано в 1.2.20. Для його визначення розроблено різні емпіричні та напівемпіричні залежності, але це досить складна і мінлива величина. Її ув’язують з глибиною, швидкістю течії, її пульсаціями та ін.

У ламінарному потоці епюра швидкостей на вертикалі може бути описана формулою параболи з горизонтальною віссю, розташованою на поверхні потоку. Для турбулентних потоків розподіл швидкостей точно не встановлений (логарифмічна крива, частина еліпсу, парабола та ін.). Але однозначно встановлено, що його специфікою є те, що на дні швидкість не дорівнює нулю, і форма більш плавна ніж при ламінарному русі. Зокрема з цим пов’язана розмиваюча та транспортуюча здатність турбулентних потоків.