4.3. Елементи математичного апарату цифрової техніки.

Для розуміння роботи електронних елементів МП-систем необхідно усвідомити мету обробки інформації, тобто, в чому полягає саме обробка і перетворення інформації в МП-системі. Тому попередньо ознайомимось із арифметико-логічними основами МП-систем.

4.3.1. Системи числення.

Будь-яка інформація в МПС уявляється в цифровій формі, тобто у вигляді чисел. Від того, яка система числення буде використана в МП-системі, залежать швидкість обчислень, ємність пам’яті, складність алгоритмів виконання арифметичних операцій. Система числення (англ. number (numeration) system, notation) – сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.

При виборі системи числення враховується залежність довжини числа і кількості стійких станів функціональних елементів (для зображення цифр) від основи системи числення. Наприклад, при десятковій системі числення функціональний елемент повинен мати можливість знаходитись в одному із десяти стійких станів (один стан відповідає 1, другий – 2, третій стан – 3 і т.д.), а при двійковій системі числення – два. Крім того, система числення повинна володіти простотою виконання арифметичних і логічних операцій.

Розрізняють позиційні, змішані і непозиційні типи систем числення.

У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий символ) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Кількість символів, що використовуються у записі чисел, визначає основу системи числення. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна основі системи числення.

Наприклад, число «сім тисяч сімсот сімдесят сім» у десятковій системі числення представляється у виді: 7777 = 710³ + 710² + 710¹ + 710⁰, де 10³, 10², 10¹, 10⁰ – вага відповідних розрядів (позицій). Отже, в цьому прикладі хоча цифри однакові, але одна, відповідно позиції, визначає кількість одиниць, друга – кількість десятків, третя – кількість сотень, четверта – кількість тисяч.

Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число в десятковій системі числення за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.

Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина (d днів h годин m хвилин s секунд) відповідає значенню d246060 + h6060 + m60 + s [секунд.].

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви: 1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.

Позиційна десяткова система числення, звична для нас в повсякденному житті, не є найкращою для використання в МП-системах. Це пояснюється тим, що відомі на час створення функціональні елементи з десятьма стійкими станами (зокрема, декатрони¹ і ін.) мають низьку швидкість перемикання і, таким чином, не можуть задовольняти вимогам по швидкодії. Тому в більшості випадків в МП-системах використовують двійкові і двійково-кодовані системи числення. Широке поширення цих систем зумовлене тим, що елементи МП-систем найкраще здатні знаходитися лише в одному з двох стійких станів. Наприклад, транзистор в ключовому режимі може бути у відкритому або закритому стані, а отже, мати на виході високу або низьку напругу. Такі елементи, як зазначалось раніше, прийнято називати двопозиційними. Якщо один з стійких станів елемента прийняти за 0, а інший – за 1, то досить просто зображуються значення розрядів двійкового числа.

Арифметичні операції над двійковими числами відрізняються простотою і легкістю технічного виконання. Приклади:

Додавання :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10 – відбувається перенесення одиниці в старший розряд

Віднімання :

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

10 – 1 = 1 – відбувається позичання одиниці в старшому розряді

Множення :

0  0 = 0

0  1 = 0

1  0 = 0

1  1 = 1

В двійково-кодованих системах числення кожна цифра десяткового числа уявляється в двійковій системі числення.

16-кова і 8-кова системи числення є допоміжними системами при візуалізації запису. Зручність їх використання в тому, що запис числа коротший, а перетворення числа (“ 2 ”   “ 8 ”, “ 2 ”  ” 16 ”) нескладне – кожна цифра 8- або 16-кового числа записується як двійкове число відповідно наведеній таблиці 4.1.

При записі двійкового числа у 16-ковій (8-ковій) системі числення число розбивається ліворуч і праворуч від коми на четвірки (трійки) цифр і кожна тетрада (тріада) двійкових цифр записується як одна 16-кова (8-кова) цифра.

Приклади:

1010 0101,0010 1011₂  A5,2B₁₆.

001 010 011,101 110₂  123,56₈,

тобто замість довгого ланцюжка нулів і одиниць використовується еквівалентне коротке представлення.

Вісімкова система числення, як допоміжна, використовувалась в комп’ютерах першої та другої генерації, в яких кількість розрядів у двійкових словах (довжина слова) була кратна трьом.

Таблиця 4.1.

Таблиця відповідності 16- та 8-кових цифр і двійкових комбінацій.

16-кова цифра	2-кова комбінація	16-кова цифра	2-кова комбінація		8-кова цифра	2-кова комбінація
0	0000	8	1000		0	000
1	0001	9	1001		1	001
2	0010	A	1010		2	010
3	0011	B	1011		3	011
4	0100	C	1100		4	100
5	0101	D	1101		5	101
6	0110	E	1110		6	110
7	0111	F	1111		7	111