9.7. Запаздывающее звено

Рассмотрение этого звена начнем с его реализации, примером которой может служить ленточный транспортер длиной L, перемещающийся со скоростью V (рис. 9.22). Если расход сыпучего материала в начале такого транспортера принять Q₁= х_вх, а расход ссыпающегося в конце с транспортера материала Q₂ = х_вых, то время движения материала Δτ будет равно L/V = τ_зап (где τ_зап — время запаздывания).

Если на вход ленточного транспортера подать возмущение в виде единичного скачка (т.е. открыть подачу материала), то этот же единичный скачок появится на его выходе через отрезок времени, равный времени запаздывания. Следовательно, типовая кривая разгона будет иметь вид, показанный на рис. 9.23.

Теперь представим, что на вход транспортера подан единичный импульс. Через определенное время запаздывания мы его же получим на выходе транспортера. То же будет и при входном потоке, изменяющемся по синусоиде или какому-либо другому закону во времени. Следовательно, выходной сигнал запаздывающего звена повторяет входной сигнал, но с некоторым временем запаздывания. Исходя из этого, общее уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов запаздывающего звена в динамическом режиме работы можно записать в виде

или

В литературе, как правило, уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов запаздывающего звена имеет вид

Однако трудно себе представить отрицательное время запаздывания. Время — особый фактор реальности, и движется оно от

нуля только вперед. Также в природе не бывает отрицательных давления и концентрации газа. Так формальная математика вступает в противоречие с законами реального мира.

Итак, типовое уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов запаздывающего звена имеет вид

Для получения из этого уравнения передаточной функции запаздывающего звена в общем виде необходимо использовать интегралы Лапласа (см. характеристики апериодического звена):

Из аналитического выражения передаточной функции запаздывающего звена путем замены р на /со получим аналитическое выражение для вектора АФХ этого звена:

Чтобы разделить это выражение на действительную и мнимую части, воспользуемся формулой Эйлера:

Изменяя частоту ω от 0 до ∞ в действительной и мнимой частях этого выражения, можно построить годограф вектора АФХ запаздывающего звена (рис. 9.24), который будет представлять собой бесконечное число окружностей с единичным радиусом вокруг начала координат комплексной плоскости. Первая окружность замыкается, когда ωτ_зап = 2π или при частоте ω= 2π/τ_зап.

9.8. Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев

Удобной формой представления частотных характеристик являются логарифмические характеристики, включающие в себя логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую характеристику (ЛФХ).

В теории автоматического управления при исследовании динамических свойств САУ (главным образом устойчивости) пользуются логарифмическими частотными характеристиками (ЛЧХ). Также эти характеристики широко применяются при определении структуры и параметров регуляторов, формирующих заданный переходный процесс в системах автоматического управления.

Логарифмируя левую и правую части уравнения АФЧХ, можно записать

Зависимости lnA(ω) и φ(ω) представляют собой соответственно логарифмические амплитудную и фазовую характеристики.

Для оценки отношения двух однородных величин принято использовать логарифмическую единицу децибел (дБ). Связь между числом L и числом А выражается формулой L = 20 lgА. Например, если число А = 10, то L = 20lgА = 20 дБ, так как lg10 = 1.

ЛАХ и ЛФХ представляются в этом случае в виде графиков в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладывается частота со в логарифмическом масштабе, а по оси ординат — значения амплитуд ЛАХ в децибелах и углы ЛФХ в градусах (или радианах) в равномерном масштабе.

Безынерционное звено. Логарифмируя АФЧХ этого звена, получим L(ω) = 20lgk. Так как k от частоты не зависит, ЛАХ безынерционного звена будет представлять собой прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 9.25).

Рассмотрим вторую составляющую ЛАХ:

Апериодическое звено. Логарифмируя АФЧХ этого звена, получим

Из этого выражения, полагая, что ω² T ² <<1, получим L₂(ω) = 0, так как lg1 = 0. Если ω² T ² >>1, пренебрегая единицей, найдем L₂(ω)= - 20 lgωT. При ωТ = 1 подкоренное выражение будет равно двум, а L₂(ω)= 3 дБ. ЛАХ в этом случае можно представить в виде двух прямых (асимптот), сопряженных в точке ω_s = 1/Т. При этом частота ω_s называется сопрягающей; одна из асимптот L₂(ω)= 0 совпадает с осью абсцисс, а вторая L₂(ω)= - 20lgT наклонена по отношению к ней.

Угол наклона второй прямой найдем на основании следующих соображений. При частоте ω = ω₁ ордината прямой равна - 20 lgω₁ T, а при частоте, например, ω = 2ω₁ она составит -20lg2ω₁T. Найдем разность этих ординат:

Таким образом, при двухкратном изменении частоты прямая имеет наклон -6 дБ на октаву. Под октавой понимается интервал на оси абсцисс, соответствующий двухкратному изменению частоты. Разность ординат при десятикратном изменении частоты составит:

Наклон прямой в этом случае -20 дБ на декаду (-20 дБ/дек.). Под декадой понимается интервал на оси абсцисс, соответствующий десятикратному изменению частоты. Знак «минус» показывает, что при возрастании частоты ординаты ЛАХ убывают (отрицательный наклон).

На рис. 9.26 показано сопряжение двух асимптот. Первая представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от нее на расстояние 20 lgk. Вторая наклонена по отношению к ней на -20 дБ/дек. Суммируя L₁ и L₂ получим результирующую ЛАХ апериодического звена L(ω). В окрестности частоты ω_c сопряжение асимптот может быть произведено плавной кривой, проходящей через точку, лежащую ниже точки их пересечения на 3 дБ. Частота ω_с, при которой ЛАХ пересекает ось абсцисс, называется частотой среза.

Логарифмическая фазовая характеристика φ(ω) = -агсtgωT может быть построена по точкам. Ее характерные точки: φ(0) = 0; φ(ω_s) = -45°; φ(∞) = -90°.

Колебательное звено. Для построения ЛАХ колебательного звена целесообразно его уравнение представить в виде

Прологарифмировав это выражение, получим уравнения логарифмических амплитудной и фазовой характеристик:

Семейство кривых ЛАХ и АФХ для одного и того же значения со₀ и различных значений ^, построенное по этим уравнениям, приведено на рис. 9.27. Эти кривые построены без учета первого и второго слагаемых уравнения для Lω, так как они являются постоянными величинами. В отличие от предыдущих графиков для придания универсальности кривым по оси абсцисс откладываются значения ω/ω₀.

При значениях ξ от 0,35 до 0,75 с достаточной точностью вместо кривых АФХ можно использовать две прямые асимптоты, сопрягающиеся в точке ω/ω₀ = 1. Действительно,

Наклон второй асимптоты, определяемый уравнением -20lgω², составляет 12 дБ на октаву, или -40 дБ/дек. При любых других значениях % характеристики L(ω) необходимо строить по точкам.

Дифференцирующее звено. Прологарифмировав уравнение этого звена, найдем

ЛАХ L(ω) строится по трем составляющим (рис. 9.28). Первая составляющая — это прямая, параллельная оси абсцисс; вторая составляющая L₂(ω) = 20lgωT— это прямая, имеющая положительный наклон 20 дБ/дек и проходящая через точку на оси абсцисс, соответствующую сопрягающей частоте ω_s = 1/T.

Третья составляющая имеет две асимпто-

ты, сопрягающиеся в точке ω_s= 1/Т, одна из которых совпадает с осью абсцисс, а вторая имеет отрицательный наклон -20 дБ/дек.

Просуммировав эти три составляющие, получим результирующую ЛАХ дифференцирующего звена L(ω)

ЛФХ φ(ω) строится по точкам. Ее характерные точки: φ(0)=90°; φ(ω_s)=45°; φ(∞)= 0.

Интегрирующее звено.ЛАХ (рис. 9.29) представляет собой прямую, проходящую через точку ω = 1 на расстоянии 20lgk от оси абсцисс и имеющую наклон -20 дБ/дек. ЛФХ выражается прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на расстояние -π/2 (-90°).

Запаздывающее звено. Уравнения логарифмических амплитудной и фазовой характеристик этого звена соответственно имеют вид L(ω)= 20lgk; φ(ω) = - ωτ.

Таким образом, ЛАХ запаздывающего звена аналогична ЛАХ безынерционного звена, а ЛФХ представляет собой кривую с неограниченным возрастанием угла φ(ω) при изменении частоты ω от 0 до ∞.