- •В.Ю. Шишмарёв автоматика
- •Введение
- •Глава 1 основные понятия, цели и принципы управления
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Примеры систем автоматического управления
- •1.3. Цели и принципы управления
- •4. Типовая функциональная схема сау
- •1.5. Математические модели сау
- •1.6. Классификация сау
- •Контрольные вопросы
- •Глава 2
- •2.2. Классификация элементов автоматики
- •2.3. Общие характеристики элементов автоматики
- •2.4. Динамический режим работы элементов
- •Контрольные вопросы
- •Глава 3
- •3.2. Классификация измерительных преобразователей
- •3.3. Статические и динамические характеристики измерительных преобразователей
- •4. Структурные схемы измерительных преобразователей
- •3.5. Унификация и стандартизация измерительных преобразователей
- •Контрольные вопросы
- •Глава 4 измерительные элементы систем автоматики (датчики)
- •4.1. Общие сведения
- •4.2. Датчики перемещений Потенциометрические датчики
- •Индуктивные датчики
- •Индукционные датчики
- •Емкостные датчики
- •Фотоэлектрические датчики
- •Электроконтактные датчики
- •Путевой выключатель
- •4.3. Датчики скорости Центробежные датчики скорости
- •Тахогенераторы
- •4.4. Датчики температуры Биметаллические датчики температуры
- •Термопары
- •Проволочные термосопротивления
- •Полупроводниковые термосопротивления (термисторы)
- •4.5. Датчики давления
- •Контрольные вопросы
- •Глава 5 задающие устройства и устройства сравнения
- •5.1. Задающие устройства
- •5.2. Устройства сравнения
- •Глава 6 усилители
- •6.1. Общие сведения
- •6.2. Магнитные усилители
- •6.3. Электромашинные усилители
- •6.4. Полупроводниковые усилители Усилители на биполярном транзисторе
- •Усилители напряжения на полевом транзисторе
- •Операционные усилители
- •Универсальные оу
- •Прецизионные операционные усилители
- •Мощные операционные усилители
- •Операционные усилители в моделировании математических операций
- •Электрометрические и измерительные усилители
- •Многокаскадные усилители
- •Усилители мощности
- •Контрольные вопросы
- •Глава 7 переключающие устройства (реле)
- •7.1. Общие сведения и классификация реле
- •7.2. Нейтральные электромагнитные реле постоянного тока
- •7.3. Тяговые и механические характеристики электромагнитного реле
- •7.4. Электромагнитные реле переменного тока
- •7.5. Поляризованные электромагнитные реле
- •7.6. Контакты реле. Средства дуго- и искрогашения
- •7.7. Реле времени
- •7.8. Тепловые реле
- •Глава 8 исполнительные устройства
- •8.1. Общие характеристики исполнительных устройств
- •8.2. Электрические серводвигатели
- •Электродвигатели постоянного тока с независимым возбуждением
- •Электродвигатели постоянного тока с последовательным возбуждением
- •Серводвигатели переменного тока
- •8.3. Гидравлические двигатели
- •8.4. Сервоприводы с электромагнитными муфтами
- •8.5. Шаговые сервоприводы
- •Контрольные вопросы
- •Глава 9 типовые звенья сау
- •9.1. Режимы работы объекта. Возмущающие воздействия
- •9.2. Апериодическое (инерционное, статическое) звено
- •9.3. Астатическое (интегрирующее) звено
- •9.4. Колебательное (апериодическое 2-го порядка) звено
- •9.5. Пропорциональное (усилительное, безынерционное) звено
- •9.6. Дифференцирующее звено
- •9.7. Запаздывающее звено
- •9.8. Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев
- •Контрольные вопросы
- •Глава 10 соединение звеньев в сау
- •10.1. Типовые соединения звеньев
- •Последовательное соединение звеньев
- •Параллельно-согласованное соединение звеньев
- •10.2. Сложные соединения звеньев
- •10.3. Аппроксимация сложных объектов совокупностью нескольких типовых звеньев
- •Контрольные вопросы
- •Глава 11 синтез сау или выбор типа регулятора
- •11.1. Структурные схемы сау
- •11.2. Понятие обратной связи
- •11.3. Классификация регуляторов по реализуемому закону регулирования
- •Контрольные вопросы
- •Глава 12 анализ устойчивости и качества работы сау
- •12.1. Понятие устойчивости сау
- •12.2 Показатели качества работы сау
- •12.3. Оптимальные процессы регулирования
- •12.4. Анализ устойчивости замкнутой системы
- •12.5. Вывод характеристического уравнения замкнутой системы из передаточных функций объекта и регулятора
- •12.6. Критерии устойчивости сау Алгебраический критерий устойчивости Рауса-Гурвица
- •Частотный критерий устойчивости Михайлова
- •Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •12.7. Анализ качества работы замкнутой сау
- •Глава 13 цифровые системы автоматического управления
- •13.1. Включение эвм в сау
- •13.2. Логические устройства автоматики
- •Релейно-контактные схемы
- •Изображение основных логических элементов на схемах
- •Минимизация логических функций
- •Бесконтактные логические элементы
- •Синтез логических устройств
- •13.3. Системы числового программного управления
- •13.4. Промышленные роботы
- •13.5. Управляющие микроЭвм и микроконтроллеры Структура цифровых систем управления
- •МикроЭвм и микроконтроллеры в системах управления технологическими процессами
- •Контрольные вопросы
- •Глава 14 системы телемеханики
- •14.1. Основные понятия
- •14.2. Принципы построения систем телемеханики
- •14.3. Линии связи
- •14.4. Методы преобразования сигналов
- •Непрерывные методы модуляции
- •Импульсные методы модуляции
- •Цифровые методы модуляции
- •14.5. Асу технологическими процессами и производством
- •Контрольные вопросы
- •Экспериментальное определение динамических характеристик объектов регулирования
- •Выбор регуляторов
- •Выбор регуляторов на основании расчета
- •Выбор оптимальных значений параметров регуляторов
9.2. Апериодическое (инерционное, статическое) звено
Типовое дифференциальное уравнение взаимосвязи выходного и входного сигналов апериодического ТДЗ имеет вид
где Т0 — постоянная времени; к — коэффициент передачи.
Дифференциальное уравнение является неудобной формой математической модели звена или объекта, так как решение большинства дифференциальных уравнений — это сложная вычислительная процедура. Более удобна математическая модель объекта, записанная в виде передаточной функции.
Передаточной функцией называется преобразованное по Лапласу исходное дифференциальное уравнение, т.е. уравнение, записанное в виде отношения преобразованных по Лапласу выходного и входного сигналов звена (объекта).
В преобразовании по Лапласу исходное дифференциальное уравнение называется оригиналом, а преобразованное и записанное в операторной форме уравнение — его изображением. Суть преобразования Лапласа заключается в замене функций вещественных переменных — хвых(τ) и хвх(τ) на функции комплексных переменных — хвых(р) и хвх(р), где р — оператор Лапласа (комплексное число р = ± т ± in). Эти функции связаны между собой интегралом Лапласа:
Для большинства дифференциальных уравнений, используемых в ТДЗ, чисто формальным условием перехода от оригинала к изображению будут следующие замены:
Таким образом легко можно получить из оригинала изображение, т.е. операторную форму записи дифференциального уравнения апериодического ТДЗ.
Дифференциальное уравнение апериодического звена — оригинал имеет вид
а операторная
форма записи — изображение этого
уравнения
Огромное преимущество такого преобразования заключается в том, что записанное в операторной форме исходное дифференциальное уравнение становится алгебраическим.
Если бы все дифференциальные уравнения можно было преобразовать по Лапласу, это была бы революция в развитии математики, так как решать алгебраические уравнения значительно проще. К сожалению, это возможно только для небольшого их числа, например для дифференциальных уравнений ТДЗ.
Поскольку уравнение изображения апериодического звена алгебраическое, его можно преобразовать следующим образом:
Из этого выражения легко получить отношение хвых(р)/хвх(р), которое называется передаточной функцией и для апериодического звена имеет вид
Каждое типовое динамическое звено имеет ряд типовых частотных характеристик: амплитудно-частотную (АЧХ); фазочастотную (ФЧХ); амплитудно-фазовую частотную АФЧХ (или АФХ); логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ); логарифмическую фазочастотную (ЛФЧХ).
На практике чаще используют амплитудно-фазовую частотную характеристику (или АФХ).
Вектор аналитически можно записать в виде двух проекций на действительную и мнимую оси, и выразить эти проекции через угол α:
где | W | — вектор по модулю, или длина вектора; е = 2,71 — основание натуральных логарифмов; i — мнимое число, i= i2=-1 i3=-1 i4= +1.
Аналитическое выражение вектора АФХ любого ТДЗ легко получить через передаточную функцию, заменив в ней оператор Лапласа p на выражение iω, где ω — частота колебаний, ω= 2π/Т ; Т — период колебаний.
Для апериодического звена АФХ имеет вид
Чтобы записать вектор АФХ в виде суммы проекций на действительную и мнимую оси, необходимо провести следующие преобразования:
Изменяя частоту со от 0 до ∞, можно построить на комплексной плоскости график вектора АФХ — его годограф (рис. 9.5), представляющий собой полуокружность, расположенную в четвертом квадранте комплексной плоскости, диаметр которой равен коэффициенту к.
На рис. 9.6 приведена типовая кривая разгона апериодического звена, которая называется экспонентой. Любая экспонента обладает одним замечательным свойством: если к любой ее точке провести касательную, а затем точку касания и точку пересечения касательной с асимптотой, к которой с течением времени приближается экспонента, спроецировать на ось времени, то получится один и тот же отрезок на оси времени. Эта проекция, называемая постоянной времени, соответствует коэффициенту Т0 в передаточной функции и АФХ апериодического звена, а ордината
асимптоты, к которой стремится экспонента, — коэффициенту к в его передаточной функции. Таким образом по кривой разгона легко найти коэффициенты к и Т0 в передаточной функции апериодического звена.
Примером реализации апериодического звена является электродвигатель небольшой мощности, который после включения в электросеть (подачи единичного скачка) набирает обороты по экспоненте.
Также примером реализации апериодического звена может быть установка, изображенная на рис. 9.7.
В бак поступает поток воды с расходом Q1; из бака вытекает свободно поток воды с расходом Q2. Регулируемый параметр хвых — это уровень Н воды в баке.
При подаче единичного скачка Q1 уровень Н в баке повышается; при этом увеличивается гидростатическое давление и возрастает Q2. Затем уровень воды Н стабилизируется (т.е. экспонента приближается к асимптоте).
Эта способность самостоятельно восстанавливать равновесие, присущая объектам, аппроксимируемым апериодическим ТДЗ, за счет притока или стока энергии или вещества называется самовыравниванием. Количественно самовыравнивание определяется коэффициентом р, равным обратному значению коэффициента к в передаточной функции звена, т.е. р = 1/k.
В литературе объекты с передаточной функцией апериодического звена называют статическими.