§ 5. Парадоксы логики высказываний

Все сказанное выше создает впечатление о логике высказываний как о чрезвычайно совершенной логической системе. И это действительно так, однако, наряду с достоинствами, здесь есть весьма существенные недостатки, являющиеся продолжением достоинств.

Мы определили все сложные высказывания как функции простых, точнее, истинности простых, элементарных высказываний. Это утверждение носит название тезиса экстенсиональности. Он очень удобен, ибо дает простой метод определения истинности сложных высказываний.

Однако, вполне ли этот метод соответствует нашей интуиции? Далеко не так. Яснее всего недостаточность экстенсионального подхода, т. е. подхода, основанного на тезисе экстенсиональности, видна на примере импликации. Импликация признается истинной, если истинен антецедент и истинен консеквент одновременно.

Очевидно, что это является необходимым условием того, чтобы мы признали условное выражение “Если а, то b” истинным.

Но является ли это условие достаточным? Возьмем пример, часто повторяющийся в истории логики и потому считающийся классическим: Если 2 x 2 = 4, то Нью-Йорк — большой город. Оба высказывания истинны, и мы, в соответствии с таблицей истинности, должны считать истинной и импликацию, независимо от наличия или отсутствия содержательной связи между высказываниями.

Далее, рассмотрим высказывание “Если 2 х 2 = 5, то Нью-Йорк — большой город”. Опять-таки, в соответствии с таблицей истинности для импликации, и это сложное высказывание будет истинным. Истинным будет и сложное высказывание “Если 2 х 2 = 5, то Нью-Йорк — маленький город”.

Приведенные выше высказывания иллюстрируют так называемое правило Дунса Скота, согласно которому из ложного высказывания следует все, что угодно. Это так же вызывает протест, который является вполне справедливым. А что можно сказать про истинность?

Нетрудно доказать с помощью таблицы истинности утверждение “Истинность следует из чего угодно”: а ® (b ® а)

Табл. 31

Обычно говорят, что дело тут в парадоксальности импликативной связки, и называется этот парадокс парадоксом импликации. Однако, и дизъюнкция связана с парадоксальностью.

Формула а ® (a v b) является тавтологией. Что это означает?

Мы плывем в море, видим некоторый предмет. Что это? Кто-то предположил: “Это буек”. Но если это буек, то верно, что это буек или мина. Потом оказывается, что это не буек. Значит, это мина. Опять абсурд!

Усилия многих логиков на протяжении не одного столетия были направлены на то, чтобы исключить эти парадоксы из логики высказываний. Так, в так называемой интуиционистской логике требуется каждый раз указывать, какой именно член дизъюнкции считается истинным. Это исключает рассмотренный выше парадокс, связанный с использованием дизъюнкции.

Парадокс, связанный с импликацией, о котором шла речь выше, был назван парадоксом “материальной импликации”. Это крайне неудачный термин.

В качестве альтернативы такой импликации предлагались другие типы импликаций, уже не определяемых с помощью таких простых таблиц истинности, которыми мы пользовались выше.

Есть формальная, строгая импликация как альтернативы материальной. Однако и в логике высказываний, построенной с помощью нововведенных импликаций, были обнаружены соответствующие парадоксы.

В настоящее время получили широкое применение так называемая релевантная логика, в основе которой лежит понятие релевантной импликации (см. список литературы). Мы не имеем возможности рассматривать здесь релевантную логику. Для наших целей достаточно того, что было изложено выше. При всех недостатках, изложенная система позволяет решать главную для нас задачу: обнаруживать, по крайней мере, значительную часть логических ошибок, связанных с нарушением необходимых условий правомерности логического вывода.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I