Глава III. Язык тернарного описания

§ 1. Категориальные основы языка тернарного описания

Автор берет на себя смелость предложить вниманию читателя фрагмент разработанного им логического формализма, который был назван “языком тернарного описания” (ЯТО), поскольку опирается в равной мере на всю тройку фундаментальных логических категорий: “вещь”, “свойство”, “отношение”. Именно благодаря этому, как нам представляется, он способен более адекватно отобразить проявляющиеся в натуральном языке особенности нашего мышления, чем это делают формализмы, исходящие из более узкой категориальной базы.

Равноправность всех категорий означает отказ от принципа экстенсиональности, который сводит одни категории из нашей тройки к другим. В этом плане мы идем столь далеко, что вообще отказываемся от использования понятий класса для выражения логических отношений. Значит, наши понятия не будут иметь объема. И поэтому, строго говоря, у нас не будет понятий. Вместо понятий будут использоваться только вещи, свойства и отношения. Любая мысль будет представлена как некоторое отношение между вещью и свойством, вещью и отношением, или же одновременно между вещью, свойством и отношением.

Это может показаться очень странным, особенно для тех, кто хорошо овладел техникой выявления объемных отношений между понятиями с помощью кругов Эйлера. Однако, выше было отмечено, что уже в рамках традиционной, аристотелевской логики Д. С. Милль протестовал против того, чтобы свойствам всегда соответствовали классы предметов.

“Вершина Чимборасо бела” означает просто наличие свойства “бела” у вершины Чимборасо, а не включение этой вершины в класс белых предметов, в который, наряду со снегом, входит остров Уайт, некоторые разновидности нижнего белья и зубы красавицы. Каждый согласится с тем, что обо всех этих предметах мы не думаем и не должны думать для того, чтобы лучше понять приведенную выше мысль о вершине Чимборасо.

“Сократ — человек”. Здесь как будто бы предполагается именно класс —люди. Однако, как уже говорилось выше, определить границы этого класса чрезвычайно трудно. Для этого нужно иметь данные не только о ныне живущих людях, но и о тех, кто когда-то жил и кто будет жить. Не зная всего этого, мы все же можем говорить о Сократе как о неком человеке, понимая под “человеком” не класс всех людей, а некий набор свойств, который можно рассматривать как отдельное свойство.

Сказанное о свойствах верно и применительно к отношениям. Ромео любит Джульету. Любит — здесь конкретное отношение, а вовсе не множество пар.

Но как быть в тех случаях, когда в качестве классов представляются не свойства и отношения, а сами вещи, являющиеся субъектами соответствующих суждений, например, “Все люди смертны” или же “Тигры крупнее кошек”? Использование классов в этих случаях не означало бы сведение свойств и отношений к вещам. Тем не менее, и здесь без классов можно обойтись. Существенно то, что многие без этого обходятся. По мнению известного исследователя детского интеллекта Жана Пиаже, дети до 11-12 лет не владеют понятиями, и поэтому их мышление может быть названо дологическим (Ж. Пиаже. Избранные психологические труды. М., Просвещение, 1969). Главнейшей проблемой образования классов, которую детям очень трудно решить, является согласование объема и содержания. Они путаются, главным образом, в использовании слов “Все” и “Некоторые” (Ж. Пиаже, Б. Инельдер. Генезис элементарных логических структур. М., Изд. иностранной литературы, 1963, гл. III). Вместе с тем, к указанному возрасту дети овладевают богатством родного языка и колоссальным количеством иной информации. Невозможно отрицать у них высокий уровень развития интеллекта. Некоторые исследователи интеллекта считают даже, что его максимальный уровень достигается именно к 11-12 годам. И все это на дологической стадии?!

По-видимому, все дело в том, что интеллект имеет не один путь развития. Понятийное мышление — лишь одна из возможностей, значимость которой нам не хотелось бы принизить, хотя бы потому, чтобы избежать вполне справедливого возмущения читателей, затративших немалые усилия на овладение силлогистикой и логикой предикатов. Но, согласитесь, очень интересно исследовать и другие возможности.

Основное преимущество использования понятия класса (множества) в логике связано с тем, что нам трудно мыслить одновременно о многих предметах. Лучше всего — об одном. И здесь нам бросают приманку. Класс — это один предмет. Особенно ясно это видно, когда его изобразят в виде круга Эйлера. В силлогизме всего три таких предмета. Их легко обозреть, чем и объясняется популярность графических схем в учебниках логики, в том числе и в нашем. Однако, приманка отравлена. Восприятие класса как единого предмета наводит нас на грубейшие ошибки в мышлении. Возьмем класс — “Все моря и океаны”. Будем рассматривать это как один предмет и принимаем свойство — “занимать 3/4 земной поверхности”. А далее получается так: “Черное море есть море. Значит, оно занимает 3/4 земной поверхности”. Хорошо, что мы знаем, что это не так. А если бы не знали и полагались на вывод? Какой флот потребовался бы, чтобы охранять такое море! Знающий логик скажет: у вас — учетверение терминов. В большей посылке “Все моря и океаны” понимаются в собирательном смысле, как единое целое, а нужно, чтобы это понятие мыслилось в разделительном смысле, т. е. речь должна идти о всех морях и океанах по отдельности. Но в таком случае пропадает все преимущество использования класса как единого предмета. Мы обязаны думать и о Карибском, и о Японском, и о Баренцевом, и о Беринговом море, и о море Лаптевых! Хуже всего то, что мы в посылке должны думать и о Черном море! А ведь сведения о солености Черного моря должны быть получены в результате вывода! Таким образом, избегая одной логической ошибки — учетверения термина, мы делаем другую — предвосхищение основания (по латыни — petitio principii), за которую в свое время силлогизмы подвергались резкой критике со стороны Д. С. Милля.

Сказанное относится не только к традиционной логике, но также и к логике предикатов. Изменение обозначений с “Все S” на “"x S(x)” не меняет сути дела. Однако, в логике предикатов появляется существенно новый символ. Наряду со связанной переменной "x S(x) там появляется свободная переменная S(x).

С этим понятием ассоциируется явный момент ущербности. Наличие свободной переменной, по мнению многих, уничтожает высказывание, превращая его в высказывательную форму, которая и не истина, и не ложь. Свободные переменные свидетельствуют о нашем незнании. От них стараются освободиться, связывая кванторами.

Но возможен диаметрально противоположный подход, при котором свободная переменная в одном из значений этого термина становится фундаментальным понятием, на базе которого могут определиться другие, производные понятия.

В традиционной логике существовало следующее техническое правило: если вы не знаете, в каком смысле употреблено слово “все” — в собирательном или разделительном, замените его на “любой” или “всякий”. Если смысл сохранится, значит, он — разделительный (В. Ф. Асмус. Логика. М., 1947, с. 114). Рассмотрим приведенный выше пример. “Все моря и океаны имеют соленую воду”. Заменяем “Все” на “любой”: “Любые моря и океаны имеют соленую воду” — правильно. Значит, смысл разделительный. Но если мы проведем такую замену в выражении “Все моря и океаны занимают 3/4 земной поверхности”, то результат получится абсурдным.

Но что такое “любой”? Это одно из значений, которое, как видно из приведенных в предыдущей главе цитат, придается понятию свободной переменной. Его преимущество осталось, однако, незамеченным. А оно — то же самое, что и преимущество использования класса. Класс — это один предмет, но и любой — также один предмет. Однако, это такой предмет, который может иметь разные значения. Иными словами, мы можем отождествлять его с разными предметами. В опере “Князь Игорь” хан Кончак предлагает князю Игорю любую пленницу. Это одна вещь, так же как и весь гарем -— одна вещь, что находит свое выражение в грамматической форме слова. В обоих случаях мы имеем единственное, а не множественное число.

В отличие от С. К Клини (см. выше), мы бы сказали, что здесь свободная переменная имеет интерпретацию произвольности, а не всеобщности. Свободную переменную никак нельзя отождествлять с переменной, связанной квантором всеобщности. Хан Кончак решительно возражал бы С. К. Клини, если бы имел возможность прочитать его книгу. Ведь он не хотел отдать князю всех своих пленниц, а только одну, хотя и любую.

Одна из идей ЯТО заключается в том, чтобы взять в качестве базисного понятия именно понятие произвольного предмета. Это — свободная переменная. Что касается связанных переменных, то без них вообще можно обойтись, радикально упростив таким образом логическую систему. Переменные нам нужны, главным образом, для подстановок. А подстановки в логике предикатов делаются именно в свободные переменные. Традиционная логика рекомендует проверять смысл слова “все” с помощью “любой”. Так не лучше ли сделать государственный переворот и возвести на престол “любой”, отстранив от власти “все” !?

А как быть с частным квантором? Можно ли и его устранить? Чтобы выяснить это, зададим читателю вопрос из малознакомой ему области. Что вы можете сказать о римских императорах? Наверное, ответы будут примерно такие: Любой римский император имел рабов. Какой-то римский император преследовал христиан. Какой-то римский император поджег Рим. Какой-то римский император был последним.

Теперь постарайтесь не вспоминать, что говорилось о структуре суждения во второй части нашего пособия, и ответьте, о ком шла речь в каждом из записанных выше суждений? По-видимому, вы ответите так, что в первом суждении речь шла о любом римском императоре, а в остальных — о каких-то римских императорах. Если вы именно так ответите, то это будет означать, что вы забыли, что, с точки зрения теории, развитой во второй части, субъект будет во всех случаях один и тот же “Римские императоры”. С единым субъектом связываются различные кванторные слова “Все” или “Некоторые”, которые определяют тип суждений “Все S есть Р” или “Некоторые S есть Р”. Автор знает по своему педагогическому опыту, насколько трудно заставить студентов выделять субъект так, чтобы в него не попадало кванторное слово. Не скрывается ли что-то за этим? Быть может, студенты именно так и мыслят, и правы они, а не преподаватель? ЯТО решительно переходит на сторону студентов. В одном случае речь шла о произвольном римском императоре, в остальных — о неопределенном римском императоре. Обозначим произвольный объект буквой А, не ставя ее с ног на голову, а неопределенный объект — малой буквой а. Кстати, в английском языке показатель неопределенности — артикль выражается именно такой буквой. Использование “неопределенного объекта” имеет то же преимущество, что и использование произвольного объекта. Наше внимание не распыляется на многие объекты. Мы мыслим не о многих, а об одном предмете, хотя и о неопределенном. Если же окажется, что такой предмет не один, это не беда. Христиан преследовал не один император. Но это не отменяет того, что некоторый римский император преследовал христиан.

Мы видим, что произвольный объект — это не квантор. То же самое можно сказать о неопределенном объекте. Мы говорим не о том, что какой-то объект существует, мы говорим непосредственно об этом неопределенном объекте. И у нас нет необходимости в использовании понятия класса! Не нужны и круги Эйлера.

Как же так? — может возразить читатель. Выражение “произвольный римский император” или же “некоторый римский император” все же предполагает класс “римских императоров”! Такой “классовый подход” действительно возможен. И он реализуется как в традиционной силлогистике, так и в логике предикатов! Однако, как выше уже было показано, он приводит к насилию над мыслью, заставляя образовывать искусственные классы типа “белых предметов”. Естественнее считать “белый” не классом, а свойством. И все остальные классы — так же свойствами. Чем плохое свойство “быть римским императором”? Если в логике предикатов стремятся сводить свойства и отношения к классам, то в ЯТО мы будем сводить классы к свойствам и отношениям. Поскольку “вещь, свойство, отношение” является базисной тройкой категории, это кажется совершенно естественным.

Теперь, как быть с отдельными предметами — не только “некоторыми римскими императорами”, но со всякими Неронами, Калигулами, Диоклетианами и т. д., различными конкретными свойствами, конкретными отношениями? Это поразительно, но можно мыслить и без них. Такая возможность предполагается в любом формализме. Мы уже обращали внимание читателя на то, что если у нас есть суждение типа “Все S есть М” и “Все М есть Р”, то можно смело сделать вывод “Все S есть Р”. Если есть а ® b и есть а, то есть и b. Все это верно, несмотря на то, что мы не знаем конкретного характера S, М, Р, а и b.

Разумеется, никто не будет обмениваться мыслями с помощью такого рода схем. Но это, главным образом, потому, что степень детальности выражения мысли в силлогистике и в логике предикатов ограничена. Субъект и предикат суждения сами по себе могут быть очень сложными мыслями — у нас был случай в этом убедиться, но они берутся лишь как целое — их структура остается невыявленной. В ЯТО — ситуация иная. Здесь любой элемент мысли может быть в свою очередь структурирован. Далее мы увидим, как это может быть сделано.

Отметим возможность развития мысли на уровне неопределенностей, если эти неопределенности мы будем как-то уточнять. Выше шла речь о каком-то римском императоре, который преследовал христиан, и каком-то римском императоре, который поджег Рим. Можно спросить — не один ли это и тот же римский император? Мы можем не знать, какой это именно римский император, но знать, что он один и тот же. Эту новую для нас мысль можно выразить с помощью показателя тождества, в качестве которого выбрана греческая буква ι (йота), стоящая перед символами отождествляемых предметов: ιa, ιa. Если же выяснится, что это разные императоры, можно воспользоваться для выражения этой информации символом ' (штрих), который будет записываться после символа объекта, перед которым есть буква ι. Тогда для обозначения разных неопределенных объектов будем иметь: ιa, ιa'. Символ ι, с помощью которого выражается тождество, назовем Йота-оператором. Не следует думать, что нужно много знать, прежде чем можно будет начать устанавливать логические связи между уже известными вещами. Скорее наоборот — нужно начинать с выявления логических отношений, для того чтобы лучше знать.

Иными словами, нам не нужно иметь большой набор различных конкретных вещей, свойств и отношений, называемых константами, в противоположность переменным, для того, чтобы применять ЯТО. Но одна такая константа нелогического (по ученому — экстралогического) характера нам все же понадобится. Обозначим ее первой буквой слова, обозначающего английский определенный артикль — t. Значение символа t должно быть задано в самом начале наших рассуждений. Например, t может определить предметную область — римских императоров.

В рамках нашего рассуждения t — константа. Она сохраняет свое значение в ходе всего рассуждения. Но это — одно и то же значение t выбирается нами. И мы в разных случаях можем выбирать разные значения t. В этом смысле вне контекста рассуждения t является переменной.

Однако, у нас будут константы не только экстралогического, но и логического характера, которые будут рассматриваться как таковые и вне области конкретного рассуждения. Эти константы определяют типы правильно построенных формул.