§ 2. Свойства отношений и схемы вывода

Среди свойств отношений были выделены четыре типа. Один тип объединяет свойства рефлексивности, нерефлексивности и антирефлексивности. Отношение будет рефлексивным в том случае, если каждый предмет будет иметь это отношение к самому себе. Например, для всех вещей таким будет отношение тождества. Для прямых линий — отношение параллельности, для людей — отношение “ровесник”.

Если же предмет может находиться в каком-то отношении сам к себе, а может и не находиться, то такое отношение будет нерефлексивным. Например, “любить”. Некоторые люди любят сами себя, и таких — большинство, а некоторые не любят. Антирефлексивные отношения не могут иметь место у вещи самой к себе. Например, никто не может быть больше себя, быть отцом себе, женой, дедушкой и т. д.

_______________

1 Ш. Серрюс. Опыт исследования значения логики. М., 1948.

2 Н. Грот. К вопросу о реформе логики. Лейпциг, 1882.

' С. Поварнин. Лотка отношений. Пг. 1917, Логика. Петроград, 1916.

4 В. Ф. Асмус. Логика. М. ОГИЗ, 1947.

К другому типу свойств относится симметричность, несимметричность и антисимметричность. Симметричные отношения, имея место между предметами а и b, имеют место также и между b и а. Например, “похож”, “соучастник”, “брат или сестра” и т. д. Несимметричные отношения иногда имеют место лишь в одну сторону, например, “любит”. Антисимметричные отношения всегда имеют место лишь в одну сторону, например, “больше”, “отец”, “начальник”.

Третий тип свойств — это транзитивность, нетранзитивность, антитранзитивность. Транзитивные отношения, имея место, с одной стороны, между предметами а и b, а с другой — между b и с, будут иметь место также между а и с. Например, “больше”, “умнее”, “тяжелее” и т. д. Для нетранзитивных отношений это не обязательно. Например, “любить”, “ненавидеть”. Отношения антитранзитивные не могут удовлетворять приведенному выше соотношению. Например, “отец”, “дедушка”.

Свойства, относящиеся к рассмотренным трем типам, можно различным образом комбинировать друг с другом. Такие комбинации, в свою очередь, являются основанием для выражения особых типов отношений. Так, отношения типа равенства это такие отношения, которые являются одновременно рефлексивными, симметричными и транзитивными, например, “ровесник”. Отношения типа порядка — это отношения одновременно антирефлексивные, антисимметричные и транзитивные, например, “старше”.

К четвертой группе отнесены такие свойства отношений, как функциональность, нефункциональность и антифункциональность. Функциональные отношения сопоставляют объектам а только один объект b. Так, детей у отца может быть много, но у каждого из них только один отец. Поэтому отношение “отец” является функциональным. Соответственно, “сын” будет нефункциональным. Если отношение является функциональным в обоих направлениях — как от а к b, так и от b к а, то такое отношение является взаимнооднозначным. Таким в моногамном обществе является отношение “муж”, поскольку жена имеет только одного мужа и, наоборот, муж имеет только одну жену. В первобытном же обществе это отношение не было функциональным.

В качестве антифункционального отношения можно привести “читать разные книги”. Если человек читает только одну книгу, то это будет функциональное отношение. Если допускаются разные книги для чтения, то отношение чтения становится нефункциональным, если же книги обязательно разные — отношение становится антифункциональным.

Знание логических свойств отношений является основанием для построения соответствующих умозаключений. Первый и второй классы свойств дают основания для непосредственных умозаключений. Так, если известно, что отношение R является рефлексивным, то будет правомерным следующее умозаключение:

(I)

Линия а параллельна линии b. Значит, а параллельна сама себе. Если R — антирефлексивное отношение, правомерным будет иной вывод:

(II)

а больше b, значит а не может быть больше самого себя.

Симметричность отношения определяет правомерность умозаключения по схеме:

(III)

а брат или сестра b. Значит, b брат или сестра а. Соответственно, антисимметричность означала бы:

(IV)

а умнее b, значит неверно, что b умнее а.

Естественно, что более интересны выводы не из одной, а двух посылок. Это возможно на основе знаний о транзитивности или антитранзитивности отношений:

(V)

Примером такого умозаключения может быть тот, с которого мы начали настоящий раздел, а именно, — вывод о том, что Бэн-Невис ниже Эвереста.

Вывод на основе антитранзитивности имеет вид:

(VI)

Например, а — отец b, b — отец с. Значит, а никак не может быть отцом с. Однако, далеко не всегда ясно, является ли то или иное отношение антитранзитивным или же просто нетранзитивным. В последнем случае вывод невозможен, как, например, в следующем рассуждении: а любит b, b любит с, значит, неверно, что а любит с. Все трое могут любить друг друга.

На основе функциональности отношения R возможен вывод о тождестве, которое мы будем выражать символом ≡ .

(VII)

Интересный пример такого рода вывода дается в одном из произведений английского писателя Теккерея: “Один старый аббат, беседуя в кругу интимных друзей, случайно сказал: священнику приходится испытывать странные вещи; вот, сударыня, первый исповедовавшийся у меня был убийца. — При этих словах знатнейший дворянин окрестности входит в комнату. — А, аббат, вы здесь; вы знаете, господа, я был первым исповедовавшимся у аббата, и, ручаюсь, моя исповедь поразила его!” (Цит. по статье Д. П. Горского).

В качестве посылок вывода здесь используются следующие суждения: “Аббат первым исповедовал убийцу”, “Аббат первым исповедовал только что зашедшего в комнату”. Формально — a R b, a R с. Поскольку отношение “первым исповедовал” является функциональным, т. к. первым исповедовать можно лишь одного человека, из этих посылок следует вывод b ≡ с, т. е. то, что в комнату зашел убийца.

Свойства отношений можно определить лишь изучая ту или иную предметную область, из которой эти отношения выделяются. Так, например, на основе исследования причинной зависимости строятся “причинные умозаключения”1. Под причинной зависимостью понимается зависимость двух видов: 1) существование явления А необходимо сопровождается существованием явления Б; 2) какая-нибудь перемена необходимо сопровождается другой переменой.

Явление может вызываться разными причинными комплексами. В наиболее полном и общем виде причинное умозаключение имеет такую общую посылку: В случае, если есть налицо какой-либо причинный комплекс явления Б (и только в этом случае), есть и это явление Б.

Эта посылка делает возможным четыре фигуры причинного умозаключения. 1) Один из полных причинных комплексов налицо. Значит, Б существует; 2) нет ни одного полного причинного комплекса явления Б. Значит, Б нет; 3) явление Б есть; значит, есть и какой-либо причинный комплекс его; 4) явления Б нет; значит, нет ни одного полного причинного комплекса (с. 171).