§ 3. Критика логики отношений

Приведенный выше пример показывает, что логика отношений в своих практических применениях сближается с конкретными теориями, здесь — с теорией причинности, и в значительной мере утрачивает формальный характер. Это обстоятельство стало одной из причин многочисленных дискуссий вокруг логики отношений. Некоторые, как, например, М. С. Строговоч (Логика, М., Госполитиздат, 1949, с. 267-274) отрицали существование особых, несиллогических умозаключений, стремясь их свести к традиционным формам вывода. Приемы такого сведения большей частью выглядели довольно искусственно, и мы на них не останавливаемся.

Особенно резко логику отношений критиковал Е. К. Войшвил-ло (Об одной логической концепции. Вопросы философии, 1957, № 6). Возражая против многих его аргументов (А. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения. М., 1963, с. 154-162), нельзя не признать наличие в этой логике весьма существенного дефекта. Правомерность умозаключений обосновывается свойствами отношений. Однако, свойства отношений в большинстве случаев определяются через правомерность соответствующих умозаключений. Таким образом, возникает ситуация порочного круга. Утрачивая формальный характер, логика отношений перестает быть логикой.

________________________

1 С. И. Поварнин. Логика. Общее учение о доказательстве. Петроград, 1916, с. 162-172.

Глава II. Логика предикатов

§ 1. Основные понятия логики предикатов

Выше мы видели, что логика отношений нуждалась в формализации. Эта формализация была осуществлена математическими методами в рамках логики предикатов (Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед, Д. Гильберт, П. Бернайс и т. д.). Математические методы были связаны прежде всего с использованием понятий теории множеств, на базе которых даются определения свойств и отношений. Понятие множества основоположником теории множеств Георгом Кантором определялось следующим образом: “Под “множеством” мы понимаем соединение в некое целое М определенных хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться “элементами” множества М)” (Труды по теории множеств. М., Наука, 1985, с. 173). Обратим внимание на то, что приведенное определение опирается на понятие “вещь” двояким способом. С одной стороны, вещь = предмет = объект выступает в качестве элементов множества, с другой — вещью-“целым” является и само множество. Существенно также использование фундаментального отношения различия, которое должно иметь место для любых элементов множества.

Приведенное определение множества не всегда рассматривается как исходное в современной теории множеств. Чаще всего оно связывается с “наивной” теорией множеств, в рамках которой возникают досадные парадоксы. Для устранения этих парадоксов построены различные аксиоматические теории множеств. В них множество обычно не определяется, а рассматривается как исходное, примитивное (в этом слове здесь нет ничего обидного) понятие, которое ясно само по себе.

На основе понятия множества дается определение другого важнейшего в математике понятия функции. “Элемент множества Еупроизвольной природы называется функцией элемента х, определенной на множестве произвольной природы, если каждому элементу х из множества EX соответствует единственный элемент у принадлежащий Еу ” (Толковый словарь математических терминов. М., Просвещение, 1965).

Используя понятие функционального отношения, о котором шла речь выше, мы могли бы сказать, что понятие функции совпадает с понятием функционального отношения, определенного для каждого элемента из множества Ex. Через понятие функции определяется понятие предиката как особого рода функции. Эта функция имеет всего два значения. Одно значение — “истина”, другое значение — “ложь”. Аргументами же могут быть или отдельные предметы из множества Ех или же двойки, тройки, четверки, пятерки и, вообще, — n-ки предметов. Возьмем в качестве х излюбленный предмет рассуждений английских логиков середины XIX века — “герцог Веллингтон”. Несмотря на то, что герцог Веллингтон в ту пору еще не умер, ему приписывалось свойство “смертен”. Это свойство сопоставляло герцога с одним и только с одним элементом из множества {истина, ложь}. Очевидно, что этим элементом была “истина”, поскольку истинно, что “Герцог Веллингтон смертен”. Свойством же “великий поэт” герцог Веллингтон не обладал. Значит, это свойство сопоставляет герцогу другой элемент из множества {истина, ложь}. “Одесса — столица Аргентины” — здесь Одессе сопоставляется ложь, “Одесса — морской порт” — сопоставляется истина. Понятно, что число такого рода примеров можно увеличить до бесконечности, что, однако, мы делать не будем. Если предикат сопоставляет истине или лжи всего один предмет, считается, что предикат выражает свойство, если же два или больше предмета, то предикат выражает отношение. Так, отношение будет выражать предикат “победил” во фразе “Герцог Веллингтон победил Наполеона”. Этот предикат сопоставляет паре {Веллингтон, Наполеон} истину. Предикат же “является сыном” сопоставляет этой паре ложь. В рассмотренных примерах имеет место отношение между двумя предметами, называемое двухместным отношением. Если мы вовлечем в него еще один предмет, то получим трехместное отношение: “Веллингтон победил Наполеона в битве при Ватерлоо”. Здесь предикат сопоставляет трем предметам значение истины. Понятно, что число мест отношения таким образом можно увеличивать до бесконечности.

Изложенное понимание термина “предикат” отличается от того, которым мы пользовались выше, когда он обозначал некоторое понятие, соотнесенное с понятием, являющимся субъектом категорического суждения. Однако, в обоих случаях для обозначения предиката используется один и тот же символ — Р, который часто называют предикатором.

В отличие от логики отношений, в которой формула aRb предусматривает возможность рассмотрения лишь двухместных отношений, логика предикатов оперирует формулами, выражающими отношения любого числа мест: Р(х1, х2, ..., хn). Здесь Р — предикат, х1, х2, ..., хn — отдельные предметы, которым приписывается предикат. Поскольку предметов много, Р — отношение. Но в формуле Р(х1) предикат Р является свойством.

Если Р обозначает какой-то единичный, конкретный предикат, то Р называется предикатной константой. Если же Р — это какие-то предикаты, которых может быть много, то Р — предикатная переменная. Соответственно, х1, ..., хп как обозначения отдельных предметов — это предметные (индивидные) константы. Но предикат может приписываться в качестве свойства или соотносить друг с другом в качестве отношения не отдельные предметы, а множества, классы предметов. В таком случае мы будем иметь дело с предметными индивидными переменными. Обычно для их обозначения берут малые буквы последней части латинского алфавита. Например, Р(х, у, z, u).

В таком случае, естественно, возникает вопрос — относится ли предмет Р ко всем элементам соответствующих классов или же не ко всем, то есть тот же вопрос, который мы рассматривали в традиционной теории суждения. Там он решался с помощью кванторных слов “все” и “некоторые”. Они взяты из естественного языка. В логике предикатов кванторы выражаются с помощью специальных символов. Общий квантор, соответствующий слову все, выражается с помощью перевернутой буквы А. Формула "xP(x) означает, что Р имеет место для всех х. Частный квантор, называемый также квантором существования, обозначается повернутой вокруг своей оси буквой Е (от латинского existentia — существование). Формула $хР(х) означает, что Р имеет место для некоторых х, т. е. что существуют такие х, для которых имеет место Р(х). Общее с традиционной логикой в том, что $хР(х) не исключает истинности "xP(x).

Существенные отличия от традиционной логики возникают в том случае, когда у нас не одна, а две или много индивидных переменных х. Здесь нам потребуется для одного и того же суждения одновременно два или множество кванторов. Возьмем суждение: “О каждом кто-то позаботится”. Обозначив отношение “позаботится” символом (предикатной константой) R, получим следующую формулу логики предикатов, выражающую смысл приведенного суждения: "x $у R(x, у).

Поменяем местами кванторы. Получим $у "x R(x, у). Эта формула имеет уже другой смысл. Есть кто-то, кто позаботится обо всех. Здесь очевидно преимущество формализма логики предикатов над формализмом традиционной логики, в рамках которой рассмотренное различие оказывается невыразимым.

Возьмем выражение с тремя переменными. У всех чисел есть числа большие и меньшие их. Это высказывание будет выражаться с помощью трех кванторов: "x $у $z R(x, у, z). Здесь мы связали кванторами все три переменные. Но могли бы этого не делать. Выражение "x $у R(x, у, z) так же считается правильно построенной формулой логики предикатов, несмотря на то, что кванторами связаны только две из трех переменных. Переменную, не связанную квантором, называют свободной. В приведенной выше формуле х, у являются связанными переменными, z — свободная переменная.