§ 2. Правильно построенные формулы логики предикатов

Из сказанного выше видно, какие формулы считаются правильно построенными (ППФ) в логике предикатов. Это, прежде всего, формулы типа Р(х1, х2, .., хп), где Р — предикат, а х1, х2, .., хп — индивидные константы. Далее — формулы с кванторами, например, "x $у R(x, у, z), в которых кванторы — "x и $у могут связывать индивидные переменные или же только часть их.

Следующий способ образования ППФ логики предикатов — соединение его правильно построенных формул уже известными нам связками логики высказываний.

Так можно соединить все рассмотренные выше ППФ связкой конъюнкции. Тогда получим:

Р(х1, х2,.., хп) & "x Р(х) & $у Р(х) & "x $у R(x, у) & $у "y R(x, у)

& "x $у $z R(x, у, z) & "x $у R(x, у, z).

Является ли полученная таким образом формула правильно построенной формулой логики предикатов? Ответ зависит от того, нет ли у нас переменных, которые свободны внутри одной подформулы и связаны внутри другой. Такая переменная есть. Это z. В последней подформуле она свободна, а в предпоследней связана квантором существования. Но это не беда. Переменные можно переименовывать. Z можно одновременно переименовать во всех местах, где она встречается свободно (а она встречается лишь в одном месте), заменив ее другой буквой, скажем, на и, которая нигде не связана.

После этого мы, не вникая в смысл того, что получилось, можем быть уверены в том, что получилась ППФ логики предикатов.

Мы могли бы заменить каждый из компонентов его отрицанием, например, вместо "x Р(х) вставить в формулу ¬"x P(x). И формула останется правильно построенной. Можно использовать дизъюнкцию, импликацию и все другие связки. Мы не выйдем за рамки правильно построенных формул. Другой вопрос — оценка этих формул с точки зрения истинности и ложности. Формула, полученная выше, является выполнимой. То есть можно так подобрать предикаты, индивидные константы и переменные, чтобы она оказалась истинной. Но, добавив, наряду с "x Р(х) формулу ¬"х Р(х), мы получили бы противоречие и формула в целом оказалась бы ложной. Нас интересуют прежде всего такие формулы, которые были бы всегда истинными. Их можно получить с помощью тавтологий логики высказываний.

Если взять, например, закон исключенного третьего: a v ¬а, то, подставляя вместо а любую формулу логики предикатов, мы получим общезначимую формулу или тавтологию логики предикатов. Общезначимость будет означать, что она будет верной всюду, в любой предметной области, независимо от входящих в ее состав предикатов. Так, будет тавтологией

"x $у $z R(x, у, z) v ¬"x $у $z R(x, y, z).

§ 3. Аксиоматика и тавтологии логики предикатов

Сказанное говорит о возможности аксиоматического построения логики предикатов на базе аксиоматического построения логики высказываний. Для этого Д. Гильберт и В. Аккерман предлагают взять те же четыре аксиомы, которые выше были даны для логики высказываний:

К этим четырем аксиомам добавляются еще две специфические для логики предикатов аксиомы, в состав которых входят кванторы, связанные и свободные переменные. Эти аксиомы были сформулированы коллегой Д. Гильберта П. Бернайсом.

Рассмотрим последние аксиомы более подробно. Основная трудность в их понимании связана с трактовкой свободной переменной.

Выше мы ввели понятие свободной переменной с помощью отрицательного определения. Это такая переменная, которая не связана каким-либо квантором. Во многих учебных пособиях этим и ограничиваются. Выше, когда речь шла об определениях, отмечалось, что отрицательные определения могут быть вполне правомерными. Однако в данном случае оно оставляет нас в неведении, чем же все-таки является свободная переменная, какие выражения естественного языка ей соответствуют. Существует большой разнобой в трактовке положительного смысла понятия свободной переменной.

Д. Гильберт и В. Аккерман, интерпретируя выражение свободной переменной F(y) в первой аксиоме Бернайса, понимают F(y) как любое у. Во второй же аксиоме F(y) понимается иначе. Это — “какое-нибудь у” (Основы теоретической логики, с. 97). Автор весьма популярного современного учебника В. Зегет интерпретирует значение свободных переменных в аксиомах Бернайса иначе. Для него в первой аксиоме это “определенный индивид”, а во второй — “некоторый индивид” (Элементарная логика. М., Высшая школа, 1985, с. 148).

Известный американский математический логик С. К. Клини различает две разных интерпретации свободных переменных. При одной из них — интерпретации всеобщности F(y) обозначает то же, что и связанная переменная "y F(y). Другая интерпретация условная. Мы договариваемся о тех значениях, которые должна иметь F(y) (С. К. Клини. Введение в метаматематику. М., Издательство иностранной литературы, 1957, с. 137). С Клини солидаризируется А. С. Есенин-Вольпин (сын известного поэта и сам поэт) в статье “Предикатов исчисление” (Философская энциклопедия, том 4, М., 1967). Статью пришлось подписать только инициалами А. С., так как он был в своей стране персона нон грата из-за своих демократических убеждений. Сейчас живет в США.

Нам кажется, что читатель уже достаточно подготовлен для того, чтобы понять мнение другого выдающегося американского математического логика Б. Россера, который писал: “В математике переменная — смутная, плохо определенная сущность, которая варьируется в какой-то области и которая обозначается буквой х. В символической логике, где мы не заботимся о смысле, переменная как таковая исчезает, и мы оставляем лишь букву х, теперь уже ничего не обозначающую. Это имеет то преимущество, что освобождает нас от необходимости объяснения трудного понятия переменной” (J. В. Rosser. Logic for Mathematicians. Ithaca 1953, p. 87).

Далее говорится о том, что есть переменные и есть просто выражение незнания. Следуя математическому обычаю, то и другое называют переменными, хотя в некоторых случаях мы имеем дело с переменными, а в других — с незнанием. Те случаи, когда имеет место выражение незнания, называются свободными переменными, а те, которые служат в качестве переменных, — “связанными” переменными. Различие между свободными и связанными переменными базируется исключительно на форме утверждений, а не на их смысле (Там же, с. 88).

Ниже мы вернемся к вопросу о свободных переменных в рамках другой логической системы — языка тернарного описания. А пока поверим Россеру и будем рассматривать использование свободных переменных как легальное выражение нашего незнания. Это незнание может уменьшаться в зависимости от тех формул, в которые свободная переменная входит. Иными словами, смысл свободных переменных варьируется в зависимости от контекста. Это не всегда учитывается, чем и объясняется разнообразие трактовок свободных переменных, имеющих место в литературе.

Возьмем формулу со свободной переменной вне контекста Б(х). Интерпретируем х как множество жаб, а Б — существа, от которых бывают бородавки. Мы использовали свободную переменную именно потому, что нам неизвестно, от каких жаб бывают бородавки — от всех ли или от некоторых. Б(х) — это вообще не высказывание, а лишь функция высказывания или высказывательная форма. Функция высказывания превратится в высказывание в двух случаях: 1) если мы найдем такую жабу, от которой бывают бородавки, и подставим константу, ее обозначающую, вместо переменной х. Получим Б (х,); 2) если мы ее свяжем квантором, т. е. получим "x Б(х) или $х Б(х).

Часто говорят, что именно свободные переменные являются подлинными переменными, связанные же переменные фиктивны (В. Н. Костюк. Логика. Киев — Одесса, Вища школа, 1975, с. 45).

Свободная переменная ограничивается в своей свободе, как только она попадает в контекст, более или менее сильный в данном отношении. Очень сильным является контекст аксиом Бернайса.

Д. Гильберт и В. Аккерман формулируют следующее правило вывода для логики предикатов — g1. Пусть мы вывели импликацию, в которой консеквент содержит свободную переменную х, в то время как в антецеденте переменная х не встречается. Тогда получаем в качестве новой выведенной формулы импликацию с прежним антецедентом и консеквентом, в котором переменная х связана квантором всеобщности.

Первая аксиома Бернайса как раз и представляет собой импликацию, о которой идет речь в правиле g1. Ее контекст превращает свободную переменную в связанную квантором всеобщности.

Другое правило — g2 — говорит о том, что если получена импликация, в антецеденте которой есть свободная переменная х, которой нет в консеквенте, то будет верна импликация с прежним консеквентом и антецедентом, в котором х связана квантором существования. Таким образом, свободная переменная превращается в связанную.

Формула, в которой есть свободные переменные, в логике предикатов называются открытыми в противоположность замкнутым, в которых нет свободных переменных. Иногда говорят, что только замкнутые формулы выражают высказывания. Это не точно. Открытые формулы не выражают высказываний, если свободная переменная является единственной. В других случаях открытые формулы могут выражать высказывания. Так, являются высказываниями аксиомы Бернайса, которые содержат свободные переменные и, значит, согласно определению, являются открытыми.

Приведем без доказательства (они даны в работе Д. Гильберта и В. Аккермана) ряд тождественно истинных формул (тавтологий) логики предикатов, наиболее интересных в плане практического использования.

Существенно, что импликация в обратную сторону тавтологии не образует.

На основе приведенных тавтологий можно сформулировать следующие схемы вывода:

Примеры на применение этих схем вывода будут даны ниже в задачах и упражнениях. Следует отметить, что доказательства этих и большого количества других, не приведенных здесь тавтологий, требует творческого подхода. В отличие от логики высказываний, в логике предикатов нет единого формального метода, с помощью которого можно было бы выяснить, является ли то или иное высказывание тавтологией или нет. Тем не менее, разработаны методы, которые позволяют во многих случаях привести формулы логики предикатов к такому виду, который допускает применение к ним методов логики высказываний. Это прежде всего метод аналитических таблиц. Эти таблицы довольно громоздки, и мы их не рассматриваем, отсылая читателя к литературе, в которой логика предикатов рассматривается более подробно (В. Н. Костюк. Логика. Киев — Одесса, Вища школа, 1975; В. Зегет. Элементарная логика. М., Высшая школа, 1985; В. А. Бочаров, В. И. Маркин. Основы логики. М., Космополис, 1994).