3. Специальные бинарные отношения: Отношение эквивалентности

Говорят, что ρ - бинарное отношение на множестве X, если ρ ⊆ X × X. Для произвольного отношения ρ имеет смысл выбирать X = D_ρ ∪ R_ρ.

Отношение ρ на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента x ∈ X выполняется xρx

Отношение ρ на множестве X называется иррефлексивным, если для любых x ∈ X из (x, x) ∈/ ρ.

Отношение ρ на множестве X называется симметричным, если для любых x, y ∈ X из xρy следует yρx

Отношение ρ на множестве X называется антисимметричным, если для любых x, y ∈ X из xρy и yρx следует x = y.

Отношение ρ на множестве X называется транзитивным, если для любых x, y, z ∈ X из xρy и yρz следует xρz.

Определение 1.4.6 . Бинарное отношение ρ на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, транзитивно и симметрично.

Если ρ - отношение эквивалентности и xρy, говорят, что x и y

эквивалентны.

Пример 1.4.4 . 1) ρ₌ = {(x, y) | x, y ∈ R, x = y} - отношение эквивалентности.

2. Отношение подобия на множестве треугольников является отношением эквивалентности.

3. Отношение сравнимости по модулю n

xρy ⇔ x ≡ y(mod n)

на множестве всех целых чисел Z является отношением

эквивалентности.

Определение 1.4.7 . Пусть на множестве X введено отношение эквивалентности ρ. Классом эквивалентности, порожденным элементом x, называется подмножество множества X, состоящее из всех элементов эквивалентных x:

[x] = {y | y ∈ X, xρy}.

Пример 1.4.5 . Продолжим пример 1.4.4.

1. Классы эквивалентности по отношению равенства на множестве вещественных чисел состоят из единственного элемента: [x] = x.

2. Класс эквивалентности по отношению подобия треугольников состоит из всех треугольников, подобных порождающему класс.

3. Класс эквивалентности для отношения сравнимости по модулю n на множестве целых чисел Z, порожденный элементом a, имеет вид {a + kn | k ∈ Z}. Очевидно, что числа 0, 1, 2, ..., n − 1

порождают различные классы. С другой стороны, для любого числа

t ∈ Z оно представимо в виде t = a + kn, где k ∈ Z, а a ∈

{0, 1, ..., n − 1}. Значит, для любого целого числа порожденный им класс

эквивалентности совпадает с одним из указанных. Таким образом,

отношение сравнимости по модулю n порождает n различных классов эквивалентности: [0], [1], ..., [n − 1].

Утверждение 1.4.6 . Пусть ρ - отношение эквивалентности на множестве X. Тогда 1) для любого x ∈ X верно, что x ∈ [x];

2) для любых x, y ∈ X, если xρy, то [x] = [y] (класс эквивалентности

порождается любым своим элементом).

Доказательство. Доказательство пункта 1) следует из рефлексивности отношения ρ.

Докажем 2). Пусть yρz. Тогда в силу транзитивности отношения ρ имеем xρz и z ∈ [x]. Следовательно [y] ⊆ [x]. В силу симметричности отношения ρ получим [x] ⊆ [y], что и требовалось доказать.

D

Определение 1.4.8 . Разбиением множества A называется совокупность его попарно непересекающихся непустых подмножеств

A_i таких, что каждый элемент x ∈ A принадлежит одному из этих

подмножеств:

{A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_k}, A_i /= ∅, i = 1, k,

A_i ∩ A_j = ∅, i, j = 1, k, i /= j, A = A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_k.

Утверждение 1.4.7 . Всякое разбиение множества X определяет на X отношение эквивалентности ρ: xρy тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному подмножеству разбиения.

Доказательство. Рефлексивность и симметричность очевидны. Покажем транзитивность. Пусть xρy и yρz. Тогда x, y ∈ X₁ и y, z ∈ X₂, где X₁ и X₂ - подмножества разбиения X. Поскольку y ∈ X₁ и y ∈ X₂, то X₁ = X₂. Таким образом x, z ∈ X₁ и xρz.

D

Утверждение 1.4.8 . Всякое отношение эквивалентности ρ определяет разбиение множества X на классы эквивалентности по этому отношению.

Доказательство. Из утверждения 1.4.6 следует, что каждый элемент множества X принадлежит некоторому классу эквивалентности. В то же время, из того же утверждения следует, что любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают, если имеют хоть

один общий элемент: z ∈ [x], z ∈ [y] ⇒ xρz, zρy ⇒ xρy ⇒ [x] = [y].

D

Совокупность классов эквивалентности элементов множества X по отношению эквивалентности ρ называется фактор-множеством множества X по отношению ρ и обозначается X/ρ