2. Исчисление предикатов

1. Пример задачи логики предикатов

Рассмотрим пример.

Пусть есть следующее рассуждение. Посылки:

1. Всякий, кто находится в здравом уме, может понимать математику.

2. Ни один из сыновей Гегеля не может понимать математику.

3. Сумасшедшие не допускаются к голосованию.

Заключение:

4. Никто из сыновей Гегеля не допускается к голосованию.

Формализуем рассуждение.

A(x) - x находится в здравом уме. Здесь x предметная переменная, A - предикат;

B(x) - x может понимать математику;

C(x, y) - x есть сын y;

D(x) - x допускается к голосованию.

С помощью этих предикатов можно переписать посылки и заключение: (1) A = ∀x(A(x) ⊃ B(x));

(2) B = ∀x(C(x, Гегель) ⊃ ¬B(x));

(3) C = ∀x(¬A(x) ⊃ ¬D(x));

4. D = ∀x(C(x, Гегель) ⊃ ¬D(x)).

Здесь ∀x - квантор всеобщности, а "Гегель" - предметная константа.

Как и раньше, будем говорить, что рассуждение верно, если коньюн-

кция посылок импликация заключение истинна. В нашем примере

A ∧ B ∧ C

конъ юнкц и я пос ылок

⊃ D.

зак л ю ч ение

Можно отметить следующие отличия от исчисления высказываний:

1. Вместо пропозициональных букв, принимающих всего два значения, используются предикаты, зависящие от переменных, которые принимают значения из некоторого множества объектов.

Пример 5.2.1 . Если раньше мы могли использовать элементарное утверждение A ="Вася - баскетболист", которое могло быть только истинно или ложно, то теперь мы бы написали A(x) - "x -

баскетболист" имея в виду, что A(x) принимает значение 1 для всех x из заданного множества, для которых верно свойство "быть баскетболистом".

2. Появились кванторы ∀x и ∃x для записи выражений "для любых" и "существует такое" соответственно.

3. В исчислении высказываний формула была логическим законом, если принимала значение "истина" на любом наборе логических констант, подставляемых вместо пропозициональных букв. Теперь мы используем предикаты с переменными из некоторого множества, так что проверить, что формула истинна на всех наборах не так просто. Кроме того, одной и той же формуле можно приписать различные области определения и по-разному определять истинное или ложное значение входящих в нее предикатов на данных аргументах. Здесь нам будет необходимо новое понятие - интерпретация.

Опишем интерпретацию для предикатов из нашего примера. Пусть M

• произвольное множество; область интерпретации. A_M , B_M , D_M - его произвольные подмножества. C_M - произвольное подмножество M × M . m ∈ M - произвольный элемент.

Будем полагать, что в формуле

(∀x(A(x) ⊃ B(x))) ∧ (∀x(C(x, Гегель) ⊃ ¬B(x)))∧

∧ (∀x(¬A(x) ⊃ ¬D(x))) ⊃ (∀x(C(x, Гегель) ⊃ ¬D(x))) (37)

предикатам A, B, C и D сопоставлены соответственно множества A_M , B_M , C_M и D_M , "Гегелю" сопоставлен элемент m, а x принимает произвольные значения из M .

Тогда A(x) = 1 тогда и только тогда, когда x ∈ A_M . Аналогично для

B(x) и D(x). C(x, Гегель) = 1 тогда и только тогда, когда (x, m) ∈ C_M .

∀x(A(x) ⊃ B(x)) = 1, если A_M ⊆ B_M .

∀xA(x) = 1, если A_M = M .

Будем говорить, что M вместе с сопоставленными предикатам A,

B, C, D подмножествами и соответствующим "Гегелю" элементом m есть интерпретация нашей формулы. Если задана интерпретация, то формула в этой интерпретации получает значение "истина" или "ложь".

В общем случае безотносительно интерпретации говорить значении формулы исчисления предикатов бессмысленно.

Пример 5.2.2 . Рассмотрим следующую интерпретацию формулы

(37): Область интерпретации M = N.

( 1, x^.4,

A(x) =

B(x) = C(x, y) = D(x) =

.

0, иначе.

( 1, x.2,

0, иначе.

⁽ 1, x и y - взаимнопросты,

0, иначе.

( 1, x.100,

0, иначе.

Гегель =10.

Легко убедиться, что в данной интерпретации и посылки и заключение истинны. Например, поскольку в данной интерпретации A_M - множество всех чисел кратных четырем, а B_M - множество

всех чисел кратных двум, то A_M ⊂ B_M и ∀x(A(x) ⊃ B(x)) = 1.

Следовательно A ∧ B ∧ C ⊃ D = 1 и наше рассуждение является

верным в данной интерпретации.

Замечание 5.2.1 . Заметим, что наше исходное словесное рассуждение на счет сыновей Гегеля не является интерпретацией, поскольку не определена область интерпретации M .

Определение 5.2.1 . Будем говорить, что формула тождественно истинна (логически общезначима), если ее значение "истина" в любой интерпретации

В общем случае определение, является ли формула логически общезначимой, - алгоритмически неразрешимая задача. Тем не менее, в некоторых частных случаях можно доказать, что формула является тождественно истинной. Покажем это для формулы (37).

Пусть существует интерпретация, в которой наша формула принимает значение "ложь":

(∀x(A(x) ⊃ B(x))) ∧ (∀x(C(x, Гегель) ⊃ ¬B(x)))∧

∧ (∀x(¬A(x) ⊃ ¬D(x))) ⊃ (∀x(C(x, Гегель) ⊃ ¬D(x))) = 0.

Тогда, в этой интерпретации все посылки нашего рассуждения истинны, а заключение ложно. Таким образом существует x_o:

C(xo, Гегель) ⊃ ¬D(xo) = 0	⇒	C(xo, Гегель) = 1,	D(xo) = 1.
¬A(xo) ⊃ ¬D(xo) = 1	⇒	A(xo) = 1.
A(xo) ⊃ B(xo) = 1	⇒	B(xo) = 1.
C(xo, Гегель) ⊃ ¬B(xo) = 1	⇒	B(xo) = 0.

Противоречие доказывает, что такого x_o не существует, что и требовалось доказать.