2. Полиномиальная сводимость

Можно столкнуться с разными случаями сравнения алгоритмов по сложности. Если один из алгоритмов имеет полиномиальную слож- ность, а другой требует, например, экспоненциального количества шагов (памяти), как показано выше, использование экспоненциальных алгоритмов может иметь смысл только для небольших входных параметров задачи. На больших данных любой полиномиальный алгоритм будет лучше любого экспоненциального.

В случаях, когда для двух алгоритмов, решающих одну задачу, известна полиномиальная оценка сложности, имеет смысл находить

наиболее точно прибиженное к величине сложности значение полиномов и сравнивать их сначала по максимальной степени, а если она окажется одинаковой, по коэффициенту перед максимальной степенью.

Принципиально иная ситуация имеет место в том случае, если вопрос о существовании полиномиального алгоритма решения некоторой задачи остается открытым. Тогда в первую очередь нужно выяснить ответ на этот вопрос и потом предпринимать действия по дальней- шей оптимизации. Если ответ положительный, можно пытаться искать наилучший из полиномиальных алгоритмов решения. Если полиномиаль- ного алгоритма решения задачи не существует, имеет смысл рассмотреть возможность нахождения "быстрого" алгоритма приближенного решения задачи.

При выяснении существования для задачи полиномиального алгоритма, все оценки можно делать с точностью до полиномиальных преобразований. Например, перед решением задачу можно преобразовать в другую форму, если затраты на этот процесс не превысят полиномиальное время, поскольку это не скажется на выводе о существовании полиномиального алгоритма для исходной задачи.

Также при такой постановке вопроса не важен и тип машины, на которой будет выполняться алгоритм. Таблица на рисунке 28 показывает, какова сложность моделирования машины Тьюринга одного типа с помощью машины другого типа. Рассматриваются машины Тьюринга с одной леной, с k лентами и машины с произвольным доступом к памяти.

Моделируемая МТ A	Моделирующая МТ B
	MT 1	MT k	MT с п. д. к п.
MT с 1 лентой	-	O(T (n))	O(T (n) log T (n))
MT с k лентами	O(T 2(n))	-	O(T (n) log T (n))
MT с п. д. к памяти	O(T 3(n))	O(T 3(n))	-

Рисунок 28: Время моделирования машин Тьюринга.

В любом случае понядок сложности моделирования не больше куба от сложности алгоритма исходной машины. Из этого следует, что, если существует полиномиальный алгоритм решения задачи на машине

Тьюринга одного типа, то полиномиальные алгоритмы для этой задачи существуют для любого типа машин Тьюринга.

Помочь доказать существование или отсутствие полиномиального ал- горитма решения некоторой задачи может понятие полиномиальной сво- димости.

Определение 3.2.4 . Пусть имеются две массовые задачи S₁ и S₂. Пусть A₁ - произвольный алгоритм решения задачи S₁. Пусть существуют два алгоритма полиномиальной сложности P₂₁ и P₁₂: P₂₁ получает на входе описание индивидуальной задачи типа S₂ и преобразует его в описание некоторой индивидуальной задачи типа S₁; P₁₂ получает на вход решение задачи типа S₁ и преобразует его в решение задачи типа S₂.

Если алгоритмы P₂₁ и P₁₂ таковы, что после преобразования описания индивидуальной задачи S₂ алгоритмом P₂₁ в описания индивидуальной задачи S₁, решения полученной задачи S₁ и преобразования полученного решения с помощью P₁₂, мы получим решение исходной индивидуальной задачи S₂, говорят, что задача S₂

полиномиально сводится к задаче S₁, и пишут S₂ ∝ S₁ (рис. 29).

Описание

S2

Описание

21 _S1

Решение

S1

Решение

12 _S2

Рисунок 29: Полиномиальная сводимость.

Иными словами, S₂ ∝ S₁, если связка алгоритмов A₂ = P₁₂A₁P₂₁

решает индивидуальную задачу s типа S₂:

P₁₂(A₁(P₂₁(условия s))) = ответ на s.

Пусть S₂ ∝ S₁. Тогда можно сказать, что задача S₁ в некотором смысле не легче, чем задача S₂. Действительно, если извстно, что у задачи S₁ существует решающий ее полиномиальный алгоритм A_p, то, очевидно, алгоритм P₁₂A_pP₂₁, решающий задачу S₂, тоже будет

полиномиальным. С другой стороны, если известно, что для задачи S₂ не существует полиномиального решения, то такого решения не может иметь и задача S₁.

Если задача S₁ не может быть решена за полиномиалное время, это

не позволяет сделать выводов о сложности задачи S₂. Также, если за полиномиальное время можно решить задачу S₂, это не позволяет сказать, на сколько эффективно может быть решена задача S₁.

Определение 3.2.5 . Если S₂ ∝ S₁ и S₁ ∝ S₂, говорят, что задачи S₁

и S₂ полиномиально эквивалентны.

Рассмотрим пример полиномиальной сводимости.

Задача 3.2.1 . Задача о выполнимости: Дано логическое выражение в конъюнктивной нормальной форме. Является ли функция, реализуемая этой формулой, выполнимой?

Другими словами, дана булева функция f (x₁, x₂, ..., x_n), определенная своей КНФ: (D₁) ∧ (D₂) ∧ · · · ∧ (D_k). Требуется ответить на вопрос,

существует ли такой набор значений логических переменных a₁, a₂, ...,

a_n, что f (a₁, a₂, ..., a_n) = 1.

Замечание 3.2.2 . Подробнее о конъюнктивных нормальных формах булевых функций написано в параграфе 2.1.5.

Пример 3.2.4 . Дана конъюнктивная нормальная форма

f (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = (x₁ ∨ x₂) ∧ (x₃ ∨ x₅ ∨ x₂) ∧ x₄.

Можно убедиться, что f (0, 0, 0, 1, 1) = 1. Значит ответ на задачу - "Да".

Замечание 3.2.3 . Очевидно, существует всего 2ⁿ различных наборов аргументов для f (x₁, x₂, ..., x_n). Значит для решения задачи о выполнимости достаточно просто перебрать все варианты. То есть, вопрос о разрешимости тут не стоит, но остается вопрос о возможности эффективного решения задачи.

Задача 3.2.2 . Задача о k-выполнимости - это задача о выполнимости, в условиях которой в каждом дизъюнкте не более k литералов.

Теорема 3.2.1 . Задача о выполнимости полиномиально сводится к задаче о 3-выполнимости: ВЫП ∝ 3-ВЫП.

Доказательство. Пусть E(x₁, x₂, ..., x_n) = (D₁) ∧ (D₂) ∧ ... ∧ (D_m)

• логическое выражение в конъюнктивной нормальной форме. Пусть

D_i = α₁ ∨ α₂ ∨ ... ∨ α_k - один из дизъюнктов в E, состоящий не менее,

чем из 4 литералов. Заменим в E дизъюнкт D_i на выражение

_Dt

_i = (α₁ ∨ α₂ ∨ z) ∧ (α₃ ∨ .... ∨ α_k ∨ z),

где z - новая переменная. Обозначим результат E .

Покажем, что E(x₁, x₂, ..., x_n) выполнима тогда и только тогда, когда

выполнима

E (x₁, x₂, ..., x_n, z). Пусть a₁, a₂, ..., a_n - набор аргументов,

на котором E принимает значение 1. Тогда все дизъюнкты формы

E принимают на этом наборе аргументов значение 1. В частности

^a₁^,a₂^,...,an

D_i(a₁, a₂, ..., a_n) = 1. Тогда существует i ∈ {1, ..., k}: α_i

= 1.

Выберем значение для z следующим образом

⁽ 0, i = 1 или i = 2;

b =

1, i ∈ {3, ..., k}.

Тогда E (a₁, a₂, ..., a_n, b) = 1, то есть E

• выполнима.

Пусть теперь E невыполнима: при любых занчениях x₁, ..., x_n, E(x₁, x₂, ..., x_n) = 0. Рассмотрим некоторый произвольный набор значений a₁, ..., a_n. Поскольку E(a₁, a₂, ..., a_n) = 0, то один из

дизъюнктов формы равен нулю. Если D_j (a₁, a₂, ..., a_n) = 0 и j /= i, то

и E (a₁, a₂, ..., a_n, z) = 0 для любого z.

Пусть нулю равен именно i-тый дизъюнкт. Следовательно равны нулю все литералы α₁, α₂, ..., α_k. Если выбрать значение z = 1, то (α₃ ∨ .... ∨ α_k ∨ 1) = 0. Если же выбрать значение z = 0, то (α₁ ∨ α₂ ∨ 0) = 0. В

i

любом случае D^t = 0. Следовательно E

также невыполнима.

Итак, мы заменили исходную конъюнктивную нормальную форму E

на эквивалентную ей в плане выполнимости конъюнктивную нормальную

форму E , причем один дизъюнкт D_i с k > 3 литералами был заменен на два новых дизъюнкта, один из которых содержит три литерала, а другой

k − 1 литерал. Повторяя описанный процесс нужное число раз можно

прийти к конъюнктивной нормальной форме, в которой не останется

дизъюнктов с более чем тремя литералами.

Сложность: Всего нам придется провести не более n − 3 циклов умень-

шения длины для каждого дизъюнкта. То есть сложность алгоритма имеет порядок n · m - полиномиальна относительно размера входных

данных.

D

Следствие 3.2.2 . Задача о выполнимости полиномиально эквивалентна задаче о 3-выполнимости.