3. Задача о вершинном покрытии

Пусть дан граф G = (V, E).

Определение 4.9.1 . Множество вершин R ⊆ V называется

вершинным покрытием графа G, если

∀e = (u, v) ∈ E : {u, v} ∩ R /= ∅.

Теорема 4.9.3 . Пусть G = (V, E) - граф. Тогда G₁ = (V₁, E₁) - полный подграф графа G тогда и только тогда, когда V \V₁ - вершинное

покрытие в графе G.

Доказательство. ⇒) Пусть G₁ = (V₁, E₁) - полный подграф графа

G. В граф G входят те и только те ребра, которых нет в графе G.

Следовательно подграф графа G, порожденный множеством вершин V₁

не имеет ребер. Другими словами, если в графе G и найдется ребро, то хотябы один его конец будет принадлежать множеству V \ V₁, что и

требовалось доказать.

⇐) Пусть V \ V₁ - вершинное покрытие в графе G.

Для любых вершин u, v ∈ V₁ выполняется неравенство u, v ∩ (V \

V₁) = 0. Следовательно, по определению вершинного покрытия между

вершинами u и v нет ребра в графе G. А значит ребро (u, v) присутствует в графе G.

Поскольку это выполняется для произвольных вершин из V₁, множество вершин V₁ порождает полный подграф в графе G.

D

Задача о вершинном покрытии в оптимизационной форме формулируется следующим образом.

Задача 4.9.7 . Дан граф G = (V, E). Найти вершинное покрытие G

наименьшей мощности.

Переформулируем задачу в форме распознавания

Задача 4.9.8 (ВЕРШИННОЕ ПОКРЫТИЕ). Дан граф G = (V, E)

и число b > 0. Существует ли вершинное покрытие G мощности b.

Следствие 4.9.4 . КЛИКА ∝ ВЕРШИННОЕ ПОКРЫТИЕ.

Доказательство. Для любого графа G мы можем построить дополнение и для него решить задачу о вершинном покрытии.

D

Задача о вершинном покрытии принадлежит классу N P , так как, если

ответ на задачу "да" и нам дано множество из b вершин, мы можем перебрав все ребра убедиться, что хотябы один конец каждого из них лежит в данном множестве.

Следствие 4.9.5 . Задача о вершинном покрытии является N P - полной задачей.

4. Задача о гамильтоновом цикле

Как мы помним, гамильтонов цикл - это цикл проходящий через каждую вершину графа ровно один раз.

Задача 4.9.9 (ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ). Дан граф G = (V, E).

Существует ли в графе G гамильтонов цикл?

Теорема 4.9.6 . ВЕРШИННОЕ ПОКРЫТИЕ ∝ ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ.

Доказательство этой теоремы приводить не будем из-за его излишней громоздкости.

Задача о гамильтоновом цикле лежит в классе N P , поскольку, если ответ на задачу "да" и нам дана последовательность прохождения ребер гарфа G, мы можем за полиномиальное время убедиться, что вершины могут быть пройдены в этой последовательности по ребрам G.

Следствие 4.9.7 . Задача о гамильтонове цикле является N P -полной задачей.

5. Снова задача коммивояжера

Итак, задачу коммивояжера мы сформулировали следующим образом (Задача 4.9.3):

Дан полный граф G = K_n и весовая функция W :

W : E(K_n) → R⁺.

Требуется найти гамильтонов цикл минимального веса.

Существует также общий (несимметричный) случай задачи.

Задача 4.9.10 . Пусть G = (V, A) - полный ориентированный граф (то есть, ориентированный граф в которым любые две вершины связаны двумя противоположнонаправленными дугами). Весовая функция сопоставляет каждой дуге положительное число. Противоположные ребра могут иметь различный вес.

Требуется найти гамильтонов контур минимального веса.

Переформулируем симметричную задачу в форме распознавания:

Задача 4.9.11 (ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА). Дан полный граф G = K_n, весовая функция W и целое число b > 0. Существует ли в G гамильтонов цикл веса не привосходящего b.

Теорема 4.9.8 . ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ ∝ ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА.

Доказательство. Пусть G₁ = (V₁, E₁) граф, в котором необходимо проверить наличие гамильтонова цикла. Построим граф G₂ = (V₂, E₂) и весовую функцию W следующим образом:

(u, v) ∈ E₁ ⇒ (u, v) ∈ E₂, W ((u, v)) = 1;

(u, v) ∈/ E₁ ⇒ (u, v) ∈ E₂, W ((u, v)) = 2.

Нетрудно видеть, что в G₁ есть гамильтонов цикл ⇔ задача коммивояжера с графом G₂ и границей b = |V | имеет ответ "да".

D

Следствие 4.9.9 . Задача коммивояжера является N P -полной задачей.

Следствие 4.9.10 . Несимметричная задача коммивояжера является N P -полной задачей, так как симметричная задача коммивояжера является ее частным случаем.