8. Критерий полноты системы функций

Итак, мы рассмотрели пять классов функций T₀, T₁, S, M , L.

	T0	T1	S	M	L
¬x	−	−	+	−	+
0	+	−	−	+	+
1	−	+	−	+	+
xy	+	+	−	+	−

Каждый из этих классов функций замкнут и, как можно видеть из таблицы, ни один не совпадает с P₂.

Теорема 2.1.25 (Теорема Поста). Для полноты системы функций

P ⊆ P₂ необходимо и достаточно, чтобы P не лежал полностью ни в

одном из классов T₀, T₁, S, M , L:

P /⊆ T₀, P /⊆ T₁, P /⊆ S, P /⊆ M, P /⊆ L.

Доказательство. Необходимость. Если система функций P лежит полностью в одном из классов R ∈ {T₀, T₁, S, M, L}, то, поскольку все эти классы замкнуты и не совпадают с P₂, [P] ⊆ [R] /= P₂. Тогда система P - не является полной.

Докажем достаточность. Пусть f₀, f₁, f_S , f_M , f_L ∈ P такие функции,

что f₀ ∈/ T₀, f₁ ∈/ T₁, f_S

∈/ S, f_M

∈/ M , f_L ∈/ L (некоторые из функций

могут совпадать). Проведем доказательство в несколько этапов.

1. Покажем, что с помощью f₀, f₁, f_S можно получить 0 и 1.

1. Пусть f₀(1, ..., 1) = 1. Пусть ϕ(x) = f₀(x, ..., x). Тогда ϕ(0) = ϕ(1) = 1. Значит ϕ(x) = 1 и, имея единицу, можно получить вторую константу 0 = f₁(1, ..., 1).

2. Пусть теперь f₀(1, ..., 1) = 0. Тогда ϕ(x) = f₀(x, ..., x) = x.

Подставляя в f_S x и x по лемме о несамодвойственной функции получаем константу 0 или 1 и с помощью x получаем вторую константу.

2. По лемме о немонотонной функции, подставляя константы в f_M

можно получить ¬x.

3. Используя f_L, константы и ¬x, по лемме о нелинейной функции

можно получить x ∧ y.

Так как {¬, ∧} - полная системя функций, то и система P - полная.

D

Пример 2.1.29 . Требуется проверить на полноту систему функций

P = {0, 1, xy, x ⊕ y ⊕ z}. Рассмотрим принадлежность функций P

классам T₀, T₁, S, M , L и заполним таблицу.

	T0	T1	S	M	L
0	+	−	−	+	+
1	−	+	−	+	+
xy	+	+	−	+	−
x ⊕ y ⊕ z	+	+	+	−	+

Рассмотрим, например, проверку функции x ⊕ y ⊕ z: a) 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 0 ⇒ x ⊕ y ⊕ z ∈ T₀;

b) 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 ⇒ x ⊕ y ⊕ z ∈ T₁;

c) x ⊕ y ⊕ z = 1⊕(1⊕x)⊕(1⊕y)⊕(1⊕z) = x⊕y ⊕z ⇒ x⊕y ⊕z ∈ S;

d) (1, 0, 0) ≺ (1, 1, 0), но 1 = 1⊕0⊕0 > 1⊕1⊕0 = 0 ⇒ x⊕y ⊕z ∈/ M ;

e) Очевидно, функция является линейной: x ⊕ y ⊕ z ∈ L.

Теперь, заполнив и проанализировав таблицу, можно убедиться, что система функций P является полной, так как в каждом столбце,

соответствующем одному из классов присутствует хотя бы один минус. В то же время ни одно подмножество P полной системой не

является, поскольку, если вычеркнуть в таблице хотя бы одну строку, появится столбец не имеющий минуса.

Определение 2.1.28 . Пусть M - замкнутый класс функций. Пусть

B ⊆ M. B называется базисом класса M, если 1) [B] = M;

2) ∀f ∈ B ⇒ [B \ {f }] /= M.

Пример 2.1.30 . 1) Система из примера 2.1.29 является базисом P₂.

2) Система {0, 1, xy, x ⊕ y} полная, но базисом P₂ не является.

Базисом P₂ будет ее подсистема {1, xy, x ⊕ y}.

	T0	T1	S	M	L
0	+	−	−	+	+
1	−	+	−	+	+
xy	+	+	−	+	−
x ⊕ y	+	−	−	−	+