3. Основы теории множеств

Рекомендуемая литература: [1]

1. Понятие множества

Определение 1.3.1 . Множество - любая совокупность определенных и различных между собой объектов, мыслимая как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.

Символ ∈ обозначает отношение принадлежности. Запись x ∈ S

значит, что элемент x принадлежит множеству S (x является элементом

S). Запись x ∈/ S означает, что в множестве S нет элемента x.

Множество не содержащее элементов обозначают ∅. Такое множество

называют пустым множеством

Обозначают {a₁, a₂, ..., a_k} - множество, элементами которого

являются a₁, a₂, ..., a_k и только они.

Пусть P (x) некоторая последовательность символов, задающая высказывание о x, которое будет принимать истинное или ложное значение при подстановке везде в нем вместо символа x одного и того же элемента.

Будем обозначать {x | P (x)} - множество всех элементов, для которых

высказывание P (x) принимает истинное значение.

Пример 1.3.1 . 1) {x | x - положительное число меньше 6} =

{1, 2, 3, 4, 5};

2) {x | x = 2y, y ∈ N} = {x | x - четное число}.

Множества считаются равными, если состоят из одних и тех же элементов. Записывают A = B, если множества A и B равны, и A /= B

• иначе.

Пример 1.3.2 . Множество A всех положительных четных чисел равно множеству B положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух нечетных чисел. (Показать)

Пример 1.3.3 . 1) {2, 4, 6} = {4, 2, 6}.

2) {x | x² + 2x = 0} = {0, −2}.

3) {a, b} /= {{a, b}}.

Мощностью множества называется число его элементов. Мощность множества A обозначают |A|.

Пример 1.3.4 . 1) |{1, 2, 3, 4, 5}| = 5;

2) |{1, 2, 3, 2}| = 3;

3) |N| = ∞.

2. Парадокс Рассела

Теория множеств в ее интуитивном изложении может приводить к парадоксам. Рассмотрим парадокс Б. Рассела.

Можно предположить существование множеств, которые принадлежат сами себе, и множества, которые не являются собственными элементами. Рассмотрим множество A всех таких множеств X которые не являются элементами X (сами себя):

A = {X | X

∈/ X}.

Принадлежит ли A само себе, как элемент. Если A ∈ A, то по

определению этого множества получим A ∈/

1. Если предположить, что

A ∈/

A, то оказывается A ∈ A. В любом случае получается, что A ∈ A и

A /∈ A ?! - противоречие.

3. Подмножества

Обозначают A ⊆ B и говорят, что множество A является подмножеством множества B, если каждый элемент множества A является элементом

множества B. Если также известно, что A /= B, говорят, что A является собственным подмножеством множества B и пишут A ⊂ B.

Пример 1.3.5 . 1) {1, 3} ⊂ {5, 3, 1};

2. X ⊆ X для любого множества X (рефлексивность);

3. X ⊆ Y , Y ⊆ Z ⇒ X ⊆ Z (транзитивность);

4. ∅ ⊆ X для любого множества X.

Множество всех подмножеств множества A будем обозначать 2^A. Мощность множества всех подмножеств множества с n элементами равна

2ⁿ: |2^A| = 2^|A|.

Пример 1.3.6 . Пусть A = {a, b, c}. Тогда 2^A = {∅, {a}, {b}, {c},

{a, b}, {a, c}, {b, c}, A}. Видно, что в этом множестве 2^|A| = 2³ = 8

элементов.