5. Выборки с повторениями и без повторений

1. Размещения и сочетания

Пусть имеется множество S = {s₁, s₂, ..., s_n}. Набор элементов s_i1 , s_i2 , ..., s_ik из множества S называется выборкой объема k (k- элементной выборкой) из n элементов.

Выборка называется упорядоченной, если порядок элементов в ней задан. Иначе выборка называется неупорядоченной.

Так же различают выборки с повторениями и без повторений в зависимости от того, допускается или не допускается повторное вхождение в выборку одних и тех же элементов.

Пример 1.5.1 . Пусть S = {1, 2, 3}. Тогда (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1),

(2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) - все возможные упорядоченные выборки

объема два из трех элементов.

Определение 1.5.1 . Размещением из n элементов по k называется упорядоченная выборка без повторений объема k из n-элементного множества.

Поскольку элементы нашего множества S пронумерованы некоторым образом, не умаляя общности можно называть размещением из n элементов по k упорядоченный набор из k различных

чисел, принадлежащих множеству {1, ..., n}.

n

Обозначим A^k

количество различных размещений из n по k.

n

Пример 1.5.2 . 1) Пусть на экзамене у преподавателя n различных билетов и сдавать пришло k студентов. Тогда существует ровно A^k

способоввыдатьвсемстудентампоодномубилетудляподготовки. 2) Пусть S = {1, 2, 3}. Тогда (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) - все

возможные размещения из трех элементов по два.

Утверждение 1.5.1 . Пусть k, n ∈ N и 1 ≤ k ≤ n. Тогда

_Ak

_n = n · (n − 1) · ... · (n − k + 1) =

n!

.

(n − k)!

Доказательство. Действительно, существует n различных способов выбрать первый элемент набора из элементов множества {1, ..., n}. Аналогично, существует n − 1 способ выбора второго элемента и так

далее.

D

Определение 1.5.2 . Сочетанием из n элементов по k называется неупорядоченная выборка без повторений объема k из n-элементного множества.

Как и раньше, можем считать, что сочетанием из n элементов по k называется неупорядоченный набор из k различных чисел,

принадлежащих множеству {1, ..., n}.

n

Количество сочетаний из n по k обозначим C^k

или ⁽ⁿ⁾.

k

n

Пример 1.5.3 . 1) Предположим из n участников спортивного клуба на соревнования должны поехать какие-то k. Тогда имеется C^k

различных возможности собрать комманду.

2) Пусть S = {1, 2, 3}. Тогда {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} - все возможные

cочетания из трех элементов по два.

Определение 1.5.3 . Множество всех подмножеств множества S

k

мощности k будем обозначать ^(S):

_S

k

= {A | A ⊆ S, |A| = k}.

k

Пример 1.5.4 . Пусть S = {1, 2, 3, 4, 5} и k = 3. Тогда ^(S) = { {1, 2, 3},

{1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5},

{3, 4, 5} }

Нетрудно видеть, что если мощность множества S равна n, то

_S

|S|

_n

=

k k

= . (2)

k

Утверждение 1.5.2 . Пусть k, n ∈ N и 1 ≤ k ≤ n. Тогда

_n

=

k

n! k!(n − k)!

(3)

Доказательство. Действительно, каждому сочетанию из n по k

соответствует k! различных размещений из n по k с различным порядком

k

следования элементов. Тогда (ⁿ) = ^An

₌ n!

k k!

D

k!(n−k)!

Очевидным следствием из формулы (3) является равенство

_n

=

k

_n n − k

. (4)

Интуитивно эту формулу можно было бы обосновать следующим рассуждением. Выбирая k элементов из n мы тем самым выбираем n − k

элементов из n, которые не попадают в нашу выборку. Проще говоря, мы разбиваем наше множество мощности n на два подмножества мощностей

k и n − k соответственно.

Также можно непосредственно подстановкой формулы (3) убедиться в

правильности равенства

Действительно,

_n

11. ·

_k

=

l

_n

11. ·

^{n − l} . (5)

k − l

_n

_k

n!

k!

(n − l)!

k ^· l

⁼ k!(n − k)! ^· l!(k − l)! ^· (n − l)! ⁼

n!

= ·

l!(n − l)!

(n − l)!

(k − l)!(n − k)!

_n

·

=

l

n − l _. k − l

Интуитивно формулу (5) можно описать, как разбиение множества из n элементов на три подмножества мощностей l, k − l, n − k

соответственно. Левая часть равенства описывает выбор сначала k элементов из n, а затем l элементов из выбранных k. Получим все варианты разбиения исходного множества на три подмножества указанных мощностей.

Правая часть равенства соответствует выбору сначала l элементов из

n, а затем k − l элементов из оставшихся n − l. Получим те же варианты

подмножеств.