6. Разбиения множеств.

Рассмотрим комбинаторный смысл мультиномиальных коэффициентов. Рассмотрим множество S = {s₁, s₂, ..., s_m}. Пусть разбиение множества

S на множеста S₁, S₂, ..., S_k таково, что каждое S_i содержит α_i элементов: S = S₁ ∪ S₂ ∪ ... ∪ S_k; S_i ∩ S_j = ∅, i /= j; |S_i| = α_i, i = 1, k. Отметим, что некоторые S_i могут быть пустыми и, очевидно, что m =

α₁ + α₂ + ... + α_k.

Утверждение 1.5.12 . Число таких разбиений множества S равно

α ,α ,...,α

мультиномиальному коэффициенту ^{( m )}.

1 2 k

Пример 1.5.9 . Пусть имеется m шаров с различными номерами на них и имеется k коробок: B₁, B₂, ..., B_k. Сколькими способами можно

разложить эти m шаров по k коробкам таким образом, чтобы в коробке

B_i оказалось ровно α_i шаров, i = 1, k.

Для начала можем выбрать α₁ шаров, которые мы положим в коробку B₁. Это можно сделать столькими различными способами,

α

сколько существует сочетаний из m по α₁ - ^{(m )}.

1

α

Аналогично, α₂ шаров, которые мы положим в коробку B₂ можно выбрать ^(m−α1) способами.

2

Рассуждая далее подобным образом, мы получим, что число способов,

которыми можно разложить все m шаров по k коробкам с соблюдением количеств шаров в коробках равно

_m

_α1 ·

m − α₁

_α2 ·

m − α₁ − α₂

_α3 ·

...

m − α₁ − ... − α_{k−1 =}

• _αk

m!

=

α₁!(m − α₁)!

(m − α₁)!

^· α₂!(m − α₁ − α₂)!

(m − α₁ − α₂)!

^· α₃!(m − α₁ − α₂ − α₃)!

· · · ·

(m − α₁ − α₁ − ... − α_k−1)! ₌

^{· · · ·} α_k!(m − α₁ − α₁ − ... − α_k−1 − α_k)!

m!

=

α₁!α₂!...α_k!

_m

= .

α₁, α₂, ..., α_k

Замечание 1.5.2 . В примере 1.5.9 содержится доказательство утверждения 1.5.12. Действительно, выбрать α₁ элементов из m

α

для первого подмножества можно ^{(m )} способами, α₂ из оставшихся

1

α

элементов для второго подмножества - ^(m−α1) способами и так далее.

2

Итак, в комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент

( _m

α₁,α₂,...,α_k

) равен числу разбиений m-элементного множества на k

подмножеств мощностей α₁, α₂, ..., α_k.

Пример 1.5.10 . В студенческой группе, состоящей из 25 человек, при выборе профорга за выбранную кандидатуру проголосовало 12 человек, против - 10, воздержалось - 3. Сколькими способами могло быть проведено такое голосование?

Пусть S - множество студентов группы, S₁ - множество студентов проголосовавших за выдвинутую кандидатуру, S₂

• множество проголосовавших против, S₃ - множество

воздержавшихся. Тогда |S| = 25, |S₁| = 12, |S₂| = 10, |S₃| = 3,

S = S₁ ∪ S₂ ∪ S₃, S_i ∩ S_j = ∅, i /= j.

Следовательно искомое число равно

25

12, 10, 3

25!

=

12!10!3!

= 1 487 285 800.

Тепеь рассмотрим, как можно подсчитать число неупорядоченных разбиений множества на подмножества заданной мощности.

Пусть дано множество S мощности m и числа n₁, n₂, ..., n_m таковы,

что

):_m

i=1

n_i · i = m. Рассмотрим такие разбиения множества S

n_i множеств

на подмножества, что среди множеств разбиения ровно

мощности i, для каждого i = 1, m, причем порядок множеств разбиения не важен. Обозначим число таких разбиений за N (n₁, n₂, ..., n_m).

Утверждение 1.5.13 . Пусть m ∈ N и n₁, n₂, ..., n_m ∈ N₀ - такие числа, что

Тогда

m

^\ n_i · i = m.

i=1

m!

N (n₁, n₂, ..., n_m) =

n₁!n₂

! · · · n_m

.

!(1!)ⁿ¹ (2!)ⁿ² · · · (m!)^nm

Доказательство. Каждое из неупорядоченных разбиений, рассмотренных при определении величины N (n₁, ..., n_m), можно,

нумеруя множества в этом разбиении, привести n₁! · · · n_m! способами

к упорядоченным разбиениям. Действительно, множества мощности 1

можно расставить n₁! способами, множества мощности 2 - n₂! способами,

..., множества мощности m - n_m! способами. С другой стороны, число упорядоченных разбиений множества S можно подсчитать по утверждению 1.5.12. Тогда получим

_m

(1!)ⁿ¹ , (2!)ⁿ² , ..., (m!)^nm

= N (n₁, n₂, ..., n_m) · n₁!n₂! · · · n_m!,

что и доказывает утверждение.

D

Пример 1.5.11 . Сколькими способами можно разбить множество из десяти элементов на четыре подмножества (порядок подмножеств не важен), чтобы в одном из подмножеств был один элемент, в двух по два элемента и в одном - пять элементов? Ответ:

N (1, 2, 0, 0, 1, 0, 0) =

10!

1!2!1!(1!)¹(2!)²(5!)¹

7!

=

2 · 4 · 5!

= 3780

Пример 1.5.12 . Сколькими способами из группы в 20 человек можно сформировать 4 каолиции по 5 человек?

Пусть S множество людей в группе, n_i - число каолиций по i человек,

i = 1, 25. Тогда ответ:

N (0, 0, 0, 0, 4, 0, ..., 0) =

20!

4!(5!)⁴