2. Математическая логика: Булева аллгебра

Математическая логика окончательно оформилась как самостоятельная математическая дисциплина к 30-м годам XX века. Основная причина ее появления - математические парадоксы, например парадокс Рассела. Сложно проводить математические рассуждения, не будучи уверенным в их непротиворечивости, а также в существовании объектов, которые они определяют. Возникла идея исследовать язык логики и математики, подойти к доказательству на основе понятий аксиом и правил вывода.

1. Булева алгебра. Функции алгебры логики.

1. Булевы функции

Будем рассматривать булевы функции (функции алгебры логики) - функции, аргументы и значения которых принимают значения истина и ложь. Истину и ложь будем обозначать соответственно 1 и 0. Положим

E₂ = {0, 1}. Таким образом, функция n аргументов f есть

f : E₂ × E₂ × ... × E₂

n

→ E₂.

Аргументы этих функций будем называть логическими переменными и обозначать буквами x, y и z, возможно с индексами. Множество всех булевых функций (функций алгебры логики) будем обозначать P₂.

Пример 2.1.1 . Табличное задание функции f :

x	y	z	f (x, y, z)
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1















23 















Всего существует 2³ различных наборов значений трех переменных. Если их нумеровать от 0 до 2³ − 1, то набор с номером i оказывается

представлением числа i в двоичной системе счисления. Всего различных функций от 3-х аргументов - 2²3

В общем случае число строк в таблице для функции от n аргументов равно 2ⁿ. Число различных булевых функций от n аргуменов - 2²n .

Пример 2.1.2 . Рассмотрим, как зависит функция f из примера 2.1.1 от переменной y. Пусть γ^t = (α₁, 0, α₃) и γ^tt = (α₁, 1, α₃) - два набора

с произвольными значениями α₁ и α₂. Тогда по таблице выше можно убедиться, что f (γ^t) = f (γ^tt): f (0, 0, 0) = f (0, 1, 0), f (0, 0, 1) = f (0, 1, 1)

и так далее. В таком случае, можно сказать, что функция f не зависит существенно от переменной y, или, что y - несущественная переменная функции f .

Замечание 2.1.1 . Среди 2²n различных функций от n переменных далеко не все зависят от аргументов существенно. В это число войдут

и все функции от n − 1, n − 2, и т. д. аргументов.

Определение 2.1.1 . Будем говорить, что функция f (x₁, x₂, ..., x_n) не зависит существенно от x_n (x_n - фиктивная (несущественная) переменная функции f (x₁, x₂, ..., x_n)), если для любых значений

α₁, α₂, ..., α_n−1 ∈ E₂ выполняется равенство f (α₁, α₂, ..., α_n−1, 0) =

f (α₁, α₂, ..., α_n−1, 1).

Переменные функции f , которые не являются фиктивными,

называют существенными переменными и говорят, что функция f

существенно от них зависит.

Пример 2.1.3 . Продолжим предыдущий пример. Удалим из таблицы для функции f по одной из каждой пары строк, соответствующих разным значениям переменной y при одинаковых x и z, а также удалим столбец со значениями переменной y. Получим таблицу для новой

функции f ^t(x, z):

x	z	f t
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Функции f и f ^t по определению различны: у них разная область

определения. С другой стороны, если учитывать только существенные переменные, эти две функции полностью совпадают. В дальнейшем будем считать такие функции равными.

Определение 2.1.2 . Будем говорить, что две функции f (x₁, x₂, ..., x_k) и g(x₁, x₂, ..., x_l) равны, если после удаления всех несущественных переменных получаются функции с одинаковыми таблицами. В таком случае будем писать f = g.

Замечание 2.1.2 . При использовании табличного задания функции достаточно указывать тольно набор ее значений, предполагая, что порядок следования наборов аргументов всегда одинаков. Например, функция из примера 2.1.1 может быть определена только записью f = (1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1).