5. Математическая логика: Исчисления высказываний и предикатов

1. Исчисление высказываний

1. Пример задачи логики высказываний

Рассмотрим пример. Пусть мы хотим выяснить, является ли определенная последовательность рассуждений логически правильной.

Простые высказывания:

A = капиталовложения останутся постоянными;

B = возрастут правительственные расходы;

C = возрастет безработица;

D = налоги будут снижены.

На основе простых высказываний построим сложные высказывания:

A = A ⊃ (B ∨ C),

B = ¬B ⊃ D,

C = (D ∧ A) ⊃ ¬C.

Здесь высказывание A можно прочитать как "если капиталовложения

останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы, или

возрастет безработица". Аналогично можно читать и другие сложные высказывания.

Замечание 5.1.1 . Для определенности здесь и далее простые высказывания будем обозначать большими латинскими буквами A, B, C,..., а сложные высказывания округлыми большими латинскими

буквами A, B, C,...

Определение 5.1.1 . Здесь A, B, C - пропозициональные буквы, A, B, C - пропозициональные формы, построенные из пропозициональных букв с помощью связок {¬, ∨, ∧, ⊃, ≡} по правилам построения формул

алгебры логики.

Рассмотрим следующее рассуждение:

A , B , C , A

B

• посылки

• заключение

Определение 5.1.2 . Высказывание A логически влечет высказывание

B (B - следствие A), если пропозициональная форма A ⊃ B -

тавтология.

Определение 5.1.3 . A логически эквивалентна B, если A ≡ B - тавтология.

Итак, нам необходимо проверить, будет ли тавтологией следующая пропозициональная форма:

A ∧ B ∧ C ∧ A

к онъюнкц и я посыл ок

⊃ B

зак л ю ч ение

= 1 ?

Прежде чем перейти непосредственно к вычислению этой формы, необходимо выполнить предварительную проверку непротиворечивости посылок. Если окажется, что посылки в нашем рассуждении не могут быть истинными в одно и то же время, то, исходя из предположения, что все они выполняются, мы не сможем получить достоверных результатов.

Кроме того, по определению импликации, если A = 0, то A ⊃ B = 1

для любых значений B, что совсем не будет свидетельствовать о правиль-

ном рассуждении. Это согласуется с одним из интуитивных логических

законов: исходя из ложных посылок можно вывести как истинное, так и ложное заключение.

Проверим, выполнима ли формула A ∧ B ∧ C ∧ A. Такую проверку для

посылок нужно выполнять каждый раз.

(A ⊃ (B ∨ C))(B ⊃ D)(DA ⊃ C)A =

= (A ∨ B ∨ C)(B ∨ D)(D ∨ A ∨ C)A =

= (AB ∨ AD ∨ B ∨ BD ∨ CB ∨ CD)(DA ∨ CA) =

= ABDA ∨ ABCA ∨ ADDA ∨ ADCA ∨ BDA ∨ BCA∨

∨ BDDA ∨ BDCA ∨ CBDA ∨ CBCA ∨ CDDA ∨ CDCA =

= BDA ∨ BCA ∨ BDCA ∨ CBDA = ABD ∨ ABC

Легко убедиться, что, например, на наборе значений A = 1, B = 1,

C = 1, D = 0 полученное выражение обращается в единицу. Таким

образом, A ∧ B ∧ C ∧ A - выполнимая функция, т.е. посылки

непротиворечивы.

Вычислим теперь значение выражения A ∧ B ∧ C ∧ A ⊃ B,

воспользовавшись результатами предыдущих выкладок:

(ABD ∨ ABC) ⊃ B = ABD ∨ ABC ∨ B =

= ABD · ABC ∨ B = (A ∨ B ∨ D)(A ∨ B ∨ C) ∨ B =

= A ∨ A B ∨ AC ∨ B ∨ BC ∨ DA ∨ DB ∨ DC ∨ B =

= (A ∨ B ∨ DC) ∨ B = 1

Исследуемая формула оказалась тавтологией. Значит, высказывание B

действительно оказалось логическим следствием посылок A, B, C и A. При этом мы нигде не обсуждаем истинность самих высказываний A,

B, C, A; возможно они неверны. Тем не менее, если они истинны, то

верным окажется и заключение.

Заметим, что мы рассматривали истинность только логики рассуждений независимо от смысла, который мы приписываем элементарным высказываниям A, B, C, D. Если мы опеределим отличные значения для элементарных высказываний, истинность или ложность логики рассуждений останется неизменной. Если при новых определениях будут верны посылки, верным будет и заключение.