6. Мультимножества

Пусть дано некоторое множество S = {s₁, s₂, ..., s_n}, |S| = n.

Определение 1.5.4 . Мультимножеством M на множестве S

назовем всюдуопределенную функцию

ϕ : S → N₀,

где N₀ - множество неотрицательных целых чисел.

ϕ(s₁)

ϕ(s₂)

ϕ(s_n)

Будем писать M = {s₁ , s₂ , ..., s_n }, имея в виду, что элемент

s_i множества S встречается в мультимножестве M ровно ϕ(s_i) раз.

Мощность мультимножества M положим равной сумме количеств вхождений в M элементов s_i:

n

|M | = ^\ ϕ(s_i).

i=1

x	1	2 3 4	5
ϕ(x)	1	0 2 1	3

Пример 1.5.7 . Пусть S = {1, 2, 3, 4, 5} и задана функция ϕ:

.

Тогда мультимножество имеет вид M = {1¹, 2⁰, 3², 4¹, 5³}. То есть элементы 1 и 4 входят в мультимножество M по одному разу, элемент 3 входит в него 2 раза, элемент 5 - три раза и элемент

2 множества S не входит в мультимножество M . Мощность мультимножества равна |M | = 1 + 0 + 2 + 1 + 3 = 7.

Как можно видеть, мультимножество над множеством S - это неупорядоченная выборка с повторениями (сочетание с повторениями).

k

Определение 1.5.5 . Множество всех мультимножеств на множестве S мощности k будем обозначать ^((S)).

Пример 1.5.8 . Пусть S = {1, 2, 3}. Тогда множество всех мультимножеств мощности 2 над множеством S будет иметь

2

вид: ^((S)) = {{1², 2⁰, 3⁰}, {1¹, 2¹, 3⁰}, {1¹, 2⁰, 3¹}, {1⁰, 2², 3⁰}, {1⁰, 2¹, 3¹},

{1⁰

, 2⁰

, 3²

}}.

Посчитаем, сколько возможно различных выборок с повторениями мощности k над множеством из n элементов. Положим

_n

_S

=

.

k k

Утверждение 1.5.9 . Пусть k, n ∈ N.

_n

k

₌ n + k − 1

k

(13)

Доказательство. Справа в формуле (13) стоит мощность множества всех подмножеств мощности k множества мощности n+k −1. Рассмотрим множество {1, 2, ..., n + k − 1} и его произвольное k-подмножество

{a₁, a₂, ..., a_k}. Пусть, не умаляя общности, элементы a_i выстроены в

порядке возрастания:

1 ≤ a₁ < a₂ < ... < a_k ≤ n + k − 1. (*)

Положим по определению b_i = a_i − i + 1, i = 1, k. Тогда

b₁ = a₁ ≥ 1;

b_k = a_k − k + 1 ≤ n + k − 1 − k + 1 = n;

b_i+1 − b_i = a_i+1 − (i + 1) + 1 − (a_i − i + 1) = a_i+1 − a_i − 1 ≥ 0,

i = 1, k − 1.

Следовательно,

1 ≤ b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ b_k ≤ n, (**)

то есть b₁, b₂, ..., b_k задают некоторое мультимножество мощности k над множеством {1, 2, ..., n}.

Аналогично показывается обратное соответствие. Слева в формуле

(13) стоит число мультимножеств мощности k множества мощности

n. Рассмотрим произвольное мультимножество мощности k над множеством {1, 2, ..., n}. Не умаляя общности, считаем, что элементы

мультимножества расположены в порядке неубывания и выполнена формула (**).

Положим по определению a_i = b_i + i − 1, i = 1, k. Тогда

a₁ = b₁ ≥ 1;

a_k = b_k + k − 1 ≤ n + k − 1;

a_i+1 − a_i = b_i+1 + (i + 1) − 1 − (b_i + i − 1) = b_i+1 − b_i + 1 > 0,

i = 1, k − 1.

Следовательно, выполняется выражение (*).

Таким образом установлено взаимнооднозначное соответствие между множеством сочетаний из n + k − 1 по k и множеством мультимножеств

мощности k над множеством из n элементов. Следовательно мощности этих множеств равны.

D