3. Дополнение графа

Определение 4.3.8 . Дополнением графа G = (V, E) называется граф

G, такой, что V (G) = V (G) и ({u, v} ∈ E(G)) ⇔ ({u, v} ∈/

E(G)), то

есть множество ребер E(G) - дополнение E(G) до множества ребер

полного графа с данным числом вершин.

Определение 4.3.9 . Граф изоморфный своему дополнению называется самодополнительным.

Несложно показать и следующие свойства дополнения графа

1. Двойное дополнение равно исходному графу: G = G,

2. Если графы изоморфны, то изоморфны и их дополнения:

^G₁ ^∼= ^G₂ ^{⇔ G}₁ ^∼= ^G₂^.

3. Маршруты и связность

Определение 4.4.1 . Маршрутом в графе G называется последовательность вершин и ребер v₀, e₁, v₁, e₂, v₂, ..., e_l, v_l, где

v₀, v₁, ..., v_l ∈ V (G), e₁, ..., e_l ∈ E(G) и e_i инцидентна v_i−1 и v_i, i = 1, l.

Указанный маршрут называется маршрутом из вершины v₀ в

вершину v_l. Длиной маршрута называется число l.

Проще говоря, маршрут представляет собой последовательность вершин и переходов между ними по ребрам. Определение выше избыточно, так как если указана первая вершина маршрута, остальные вершины однозначно определяются ребрами по которым проходит маршрут. Если граф обыкновенный или граф Бержа, для полного задания маршрута достаточно указать только последовательность проходимых вершин.

Определение 4.4.2 . Маршрут называется цепью, если ребра в нем не повторяются.

Определение 4.4.3 . Цепь называется простой цепью, если вершины в ней не повторяются.

Определение 4.4.4 . Замкнутым называется такой маршрут, где

v₀ = v_l.

Определение 4.4.5 . Циклом называется замкнутая цепь.

Определение 4.4.6 . Прстым циклом называется замкнутая простая цепь. В этом случае, запрет на повторение вершин не распространяется на вершины v₀ и v_l.

Определение 4.4.7 . Ориентированным маршрутом в ориентированном графе G называется последовательность вершин

и дуг v₀, e₁, v₁, e₂, v₂, ..., e_l, v_l, где v₀, v₁, ..., v_l ∈ V (G), e₁, ..., e_l ∈ E(G) и

e_i = (v_i−1, v_i) - дуга из v_i−1 в v_i, i = 1, l.

Определение 4.4.8 . Ориентированный маршрут называется путем, если он не проходит по одной дуге дважды.

Определение 4.4.9 . Путь называется простым путем, если вершины в нем не повторяются.

Определение 4.4.10 . Замкнутый путь называется контуром.

Определение 4.4.11 . Замкнутый простой путь называется простым контуром.

Определение 4.4.12 . Граф G называется связным, если между любыми двумя вершинами этого графа существует маршрут.

Определение 4.4.13 . Компонентой связности графа называется максимальный по включению вершин связный подграф графа.

Любой граф можно считать объединением его компонент связности.

Теорема 4.4.1 . Для любого графа G верно, что хотя бы один из графов

G и G - связный граф.

Доказательство. Если граф G связен, теорему можно считать доказанной.

Пусть, граф G несвязен. Тогда существуют больше одной компоненты связности: V (G) = V₁ ∪ V₂, V₁ /= ∅, V₂ /= ∅, ∀u ∈ V₁,

∀v ∈ V₂, (u, v) ∈/ E(G).

Докажем, что граф G связен. Для этого рассмотрим две любые

вершины w₁ и w₂ графа и докажем, что между ними есть маршрут.

Рассмотрим два варианта. 1) Пусть (w₁, w₂) ∈ E(G). Тогда вершины

w₁ и w₂ одновременно лежат или в множестве V₁ или в множестве V₂. Пусть, не умаляя общности, w₁, w₂ ∈ V₁.

Рассмотрим произвольную вершину u ∈ V₂. Тогда (u, w₁) ∈/

E(G) и

(u, w₂) ∈/

E(G). Следовательно (u, w₁) ∈ E(G) и (u, w₂) ∈ E(G). То есть

между вершинами w₁ и w₂ нашелся маршрут длины 2: w₁, u, w₂.

2) Пусть (w₁, w₂) ∈/

E(G). Тогда по определению дополнения

(w₁, w₂) ∈ E(G). То есть между вершинами w₁ и w₂ нашелся маршрут

длины 1.

Между двумя прозвольными вершинами графа G существует соединяющий их маршрут, что и требовалось доказать.

D