7. Разложения и разбиения натуральных чисел

1. Разложения натуральных чисел

Определение 1.7.1 . Разложением числа n ∈ N называется представление n в виде упорядоченной суммы натуральных чисел

(a₁, a₂, ..., a_k) : n = a₁ + a₂ + ... + a_k, a_i ∈ N, k ∈ N. Пример 1.7.1 . Существует всего 8 различных разложений числа n = 4:

1 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 2

1 + 2 + 1

2 + 1 + 1

1 + 3

3 + 1

2 + 2

4

Обозначим d_k(n) - число разложений n на k частей.

Утверждение 1.7.1 . Число разложений n на k частей равно

n − 1

d_k(n) =

k − 1

. (15)

Доказательство. Пусть (a₁, a₂, ..., a_k) - произвольное разложение n на

k частей: n = a₁ + a₂ + ... + a_k . Тогда

1 ≤ a₁ < a₁ + a₂ < a₁ + a₂ + a₃ < ... < a₁ + a₂ + ... + a_k−1 ≤ n − 1.

Обозначим b_i = a₁ + a₂ + ... + a_i, 1 ≤ i ≤ k − 1. Тогда {b₁, ..., b_k−1} ⊂

{1, ..., n−1}, причем никакие два b_i и b_j не совпадают. Значит {b₁, ..., b_k−1}

• некоторая выборка k − 1 элемента из n − 1. При этом, различным

разложениям n на k частей будут соответствовать разные выборки из

k−1

n − 1 по k − 1. Следовательно, d_k(n) ≤ ⁽ⁿ⁻¹⁾.

Пусть теперь, {b₁, ..., b_k−1} произвольная выборка мощности k − 1 из

n − 1. Пусть, для определенности, b₁ < b₂ < ... < b_k−1. Тогда,

b₁ + (b₂ − b₁) + (b₃ − b₂) + · · · + (b_k−1 − b_k−2) + (n − b_k−1) = n.

Обозначим a₁ = b₁, a_k = n − b_k−1 и a_i = b_i − b_i−1, i = 2, k − 1. Тогда, n = a₁ + a₂ + · · · + a_k - разложение n на k частей. Причем разным выборкам будут соответствовать различные разложения и, следовательно, d_k(n) ≥ ⁽n−1⁾_.

k−1

k

Таким образом, d (n) = ⁽ⁿ⁻¹⁾.

k−1

D

Следствие 1.7.2 . Рассмотрим уравнение

x₁ + x₂ + · · · + x_k = n, (∗)

где n - заданное число из N₀. Пусть, N₌(n, k) - число решений этого уравнения на неотрицательных целых числах (x_i ∈ N₀). Тогда

n + k − 1

N₌(n, k) =

k − 1

. (16)

Доказательство. Пусть n = c₁ + c₂ + · · · + c_k, c_i ∈ N₀. Тогда n + k = (c₁ + 1) + (c₂ + 1) + · · · + (c_k + 1), c_i ∈ N. Таким образом, любому решению

уравнения (*) соответствует разложение n + k на k частей. И наоборот, для любого разложения

n + k = a₁ + a₂ + ... + a_k, a_i ∈ N

набор {(a₁ − 1), (a₂ − 1), ..., (a_k − 1)} является решением уравнения (*).

То есть мы построили взаимнооднозначное соответствие между

множеством решений уравнеия и множеством разложений n + k на k

слогаемых. Следовательно, по утверждению 1.7.1

n + k − 1

N₌(n, k) = d_k(n + k) =

.

k − 1

D

Следствие 1.7.3 . Рассмотрим неравенство

x₁ + x₂ + · · · + x_k ≤ n, (∗∗) где n - заданное число из N₀. Пусть, N_≤(n, k) - число решений этого неравенства на неотрицательных целых числах. Тогда

n + k

N_≤(n, k) =

. (17)

k

Доказательство. Пусть c₁ + c₂ + · · · + c_k ≤ n, c_i ∈ N₀. Тогда, обозначим

c_k+1 = n − c₁ + c₂ + · · · + c_k. {c₁, c₂, ..., c_k, c_k+1} - решение уравнения

x₁ + x₂ + · · · + x_k + x_k+1 = n.

Обратно, для любого решения c₁, c₂, ..., c_k, c_k+1 уравнения x₁ +x₂ +· · ·+

x_k + x_k+1 = n, очевидно, верно, что c₁ + c₂ + · · · + c_k ≤ n.

Таким образом, множеству решений неравенства (**)

взаимооднозначно соответствует множество решений уравнения

x₁ + x₂ + · · · + x_k + x_k+1 = n. Тогда по следствию 1.7.2

n + k

N_≤(n, k) = N₌(n, k + 1) = _k .

D