4. Примеры графов

Рассмотрим несколько классов обыкновенных графов.

1. ^b) c) _d) e)

Рисунок 35: O₄, F₄, C₄, W₅ и двудольный граф.

1. Полный граф (35 b)). Граф называется полным, если E = V ⁽²⁾. Другими словами, каждая вершина графа смежна с каждой другой. Такие графы обычно обозначают K_n или F_n. На рисунке 36 пункты a) и

b) изображены полные графы K₂ и K₅ соответственно.

2. Пустой граф (35 a)). Граф называется пустым, если у него нет ни одного ребра: E = ∅. Пустые графы обозначают O_n. Пример пустого

графа O₃ изображен на рисутке 36 c).

3. Двудольный граф (35 e)). Граф G называется двудольным, если его множество вершин можно разбить на два подмножества, таким

Рисунок 36: Примеры полного, пустого, двудольного графов

образом, чтобы все ребра графа начинались в одном из подмножеств и заканчиваются в другом. То есть существуют такие множества V₁ и V₂,

что V (G) = V₁ ∪ V₂, V₁ ∩ V₂ = ∅ и

∀(u, v) ∈ E(G) ⇒ v ∈ V₁ и u ∈ V₂, или u ∈ V₁ и v ∈ V₂.

Граф называется полным двудольным графом, если дополнительно

∀u ∈ V₁, ∀v ∈ V₂ ⇒ (u, v) ∈ E(G). Полный двудольный грав обозначают

^Kn₁,n₂ ^.

На рисунке 36 d) слева приведено изображение полного двудольного

графа K_3,3. На рисунке 36 d) справа этот же граф изображен так, чтобы было лучше видно множества V₁ и V₂.

4. Циклы (35 c)). Циклом называется граф, состоящий из n вершин последовательно соединены ребрами в кольцо².

Цикл из n вершин обозначают C_n. Примеры циклов изображены на рисунке 37: цикл C₆ слева и C₅ справа.

Рисунок 37: Примеры циклов

5. Колесо (35 d)) W_n - цикл C_n−1, к которому добавлена еще одна, смежная со всеми остальными, вершина.

6. Звезда K_1,n−1 (на рис. 38 изображена звезда K_1,5).

²Подробнее о циклах смотри тему про маршруты.

Рисунок 38: Граф "Звезда"

5. Графы Бержа

Самым распространенным видом ориентированных графов являются графы Бержа.

Определение 4.1.17 . Граф G = (V, E, P ) называется графом Бержа, если он удовлетворяет условию

(∀e, f ∈ E)(∀v, w ∈ V )[P (v, e, w)&P (v, f, w) ⇒ (e = f )].

Таким образом граф Бержа - это ориентированный граф, который имеет не более одной дуги между любыми двумя вершинами в одном направлении и не более одной петли при каждой вершине.

Примеры графов Бержа приведены на рисунках 33 b) и рисунке 34 d). Не трудно видеть, что для задания графа Бержа достаточно указать

отображение F : V → 2^V , ставящее в соответствие каждой v вершине

графа некоторое подмножество множества его вершин - вершины, в

которые из v идут дуги. То есть, определение может выглядеть так:

Определение 4.1.18 . Графом Бержа будем называть пару (V, F ), где V - множество элементов произвольной природы, называемых

вершинами, и F : V → 2^V .

Определение 4.1.19 . По другому граф Бержа может быть определен, как пара G = (V, E), где V - конечное множество элементов

произвольной природы, а E ⊂ V × V - множество упорядоченных пар

элементов из V .

Определение 4.1.20 . Полустепенью исхода вершины v ∈ V

ориентированного графа G называют число odeg v выходящих из v ребер,

то есть

odeg v = |{e ∈ E | (∃w ∈ V )P (v, e, w)}|

Полустепенью захода вершины v ∈ V ориентированного графа G

называют число ideg v входящих в v ребер, то есть

ideg v = |{e ∈ E | (∃w ∈ V )P (w, e, v)}|

Свойства смежности и инцидентности для ориентированных графов определены точно так же, как для неориентированных.