2. Формальные теории

Определение 5.1.4 . Формальная теория - это совокупность четырех объектов:

1. Алфавит A - произвольное множество элементов, которые, в этом случае, называют символами.

2. Множество формул F - некоторое множество слов в алфавите

A:

∞

F ⊆ A^∗ = ^I Aⁱ.

i=1

3. Множество аксиом B - некоторое множество формул: B ⊆ F.

4. Множество правил вывода R - множество отношений R на множестве формул:

R ⊆ F × F × · · · × F .

k + 1

Определение 5.1.5 . Пусть R ∈ R - некоторое k + 1-арное пра- вило вывода. Если A₁, A₂, ..., A_k, A_k+1 - формулы из F и (A₁, A₂, ..., A_k, A_k+1) ∈ R, то говорят, что A_k+1 непосредственно выводима из A₁, A₂, ..., A_k (или A_k+1 непосредственное следствие A₁, A₂, ..., A_k) по правилу вывода R.

Определение 5.1.6 . Вывод - это последовательность формул A₁, A₂, ..., A_n, такая что для каждого i ∈ {1, ..., n} верно одно из двух:

1. A_i ∈ B - аксиома, или

2. A_i непосредственно выводима из формул A_j1 , A_j2 , ..., A_jk , 1 ≤ j_s < i,

по некоторому правилу вывода данной формальной теории.

Определение 5.1.7 . Говорят, что формула A формальной теории T

является теоремой (выводима в формальной теории T ), если для нее существует вывод A₁, A₂, ...,A_n = A.

Пишут f--_T A.

Определение 5.1.8 . Аксиоматическая теория - формальная теория, в которой существует алгоритм, позволяющий для любой формулы A определить, является ли A аксиомой.

Определение 5.1.9 . Разрешимая теория - формальная теория, в которой существует алгоритм, позволяющий для любой формулы A определить, является ли A теоремой.

Неразрешимая теория - теория не являющаяся разрешимой.

Определение 5.1.10 . Пусть Γ ⊆ F - некоторое множество формул теории T . Формула A выводима в формальной теории T из множества посылок Γ (A - следствие формул множества Γ), если для нее существует последовательность формул A₁, A₂, ..., A_n = A, такая что для каждого i ∈ {1, ..., n} верно одно из трех:

1. A_i ∈ B - аксиома,

2. A_i ∈ Γ - посылка, или

3. A_i непосредственно выводима из формул A_j1 , A_j2 , ..., A_jk , 1 ≤ j_s < i,

по некоторому правилу вывода теории T .

Такую последовательность формул будем называть выводом из посылок Γ. Пишут Γ f--_T A.

Пример 5.1.1 . Формальная теория M :

1. Алфавит: A = {|}.

2. Формулы - последовательности из символа | произвольной длины:

F = A^∗

3. Аксиома: B = {||}.

4. Правило вывода: R = {(α, β) | α - формула, β = αα}.

Вывод:

1. || - аксиома.

2. |||| - из строки 1 по правилу вывода R.

3. |||||||| - из строки 2 по правилу вывода R.

Таким образом, теоремами этой формальной теории являются последовательности из символа | длины 2^t для любого t ∈ N.

Формальная теория M является аксиоматической и разрешимой.

3. Формальная теория исчисление высказываний

Определим аксиоматическую теорию L - исчисление высказываний.

1. Алфавит: {A₁, A₂, ..., A_n, ..., ¬, ⊃, (, )}.

2. Формулы: 1) A_i - формула, для любого i ∈ N.

2. Если A и B - формулы, то ¬A и (A ⊃ B) - формулы.

3. Других формул нет.

2. Аксиомы: Пусть A, B, C - произвольные формулы. Тогда

следующие формулы являются аксиомами:

1^a (A ⊃ (B ⊃ A)),

2^a ((A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))),

3^a ((¬B ⊃ ¬A) ⊃ ((¬B ⊃ A) ⊃ B)).

Замечание 5.1.2 . Три указанные формулы являются схемами аксиом: при подстановке в одну из схем произвольных формул теории L мы получим аксиому. Таким образом существует счетное число аксиом

теории L. В дальнейшем мы будем говорить об аксиоме 1, 2 или 3, имея в виду одну из аксиом по схеме 1, 2 или 3 соответственно.

2. Правило вывода modus ponens (MP):

MP = {(A, (A ⊃ B), B) | A, B ∈ F}.

То есть, если A и B произвольные формулы теории L, то B

непосредственно выводима из формул A и (A ⊃ B) по правилу вывода

modus ponens.

Замечание 5.1.3 . В алфавите формальной теории L нет символов

∨, ∧, ≡. Тем не менее, мы можем использовать эти символы, как

краткую форму записи в некоторых сложных выражениях:

(A ∨ B) = (¬A ⊃ B),

(A ∧ B) = (¬(A ⊃ ¬B)),

(A ≡ B) = ((A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A)) = (¬((A ⊃ B) ⊃ ¬(B ⊃ A))).

Для простоты иногда будем опускать внешние скобки в записи формул: вместо (A ⊃ B) - писать A ⊃ B.

Далее в этой главе мы будем говорить только о формальной теории исчисление высказываний; для простоты, вместо f--_L A будем писать f-- A.

Лемма 5.1.1 . Пусть, A - формула. Тогда f-- (A ⊃ A).

Доказательство. Построим вывод для формулы (A ⊃ A):

1. ((A ⊃ ((A ⊃ A) ⊃ A)) ⊃ ((A ⊃ (A ⊃ A)) ⊃ (A ⊃ A))) - аксиома 2

после подстановки вместо A формулы A, вместо B - (A ⊃ A) и вместо

C - A.

2. (A ⊃ ((A ⊃ A) ⊃ A)) - аксиома 1 после подстановки A ← A,

B ← (A ⊃ A).

2. ((A ⊃ (A ⊃ A)) ⊃ (A ⊃ A)) - применение правила вывода MP к

строкам 2 и 1.

2. (A ⊃ (A ⊃ A)) - аксиома 1 после подстановки A ← A, B ← A.

3. (A ⊃ A) - MP к строкам 3 и 4.

D

Замечание 5.1.4 . Формулы, для которых мы доказали, что они являются теоремами данной формальной теории, в дальнейшем можно использовать в выводах наравне с аксиомами. Действительно, раз для такой формулы существует вывод, мы всегда можем привести его как составную часть других выводов, но не будем этого делать для краткости.

Пример 5.1.2 . Рассмотрим формализацию следующего рассуждения. "Если Вася баскетболист,то Вася высокий. Вася баскетболист. Следовательно Вася высокий."

Обозначим через A высказывание "Вася баскетболист" и через B - "Вася высокий". Тогда наше рассуждение будет имеь вид:

A ⊃ B, A_. B

Чтобы убедиться, что оно верно, проверим, является ли формула

(A ⊃ B)A ⊃ B тавтологией.

(A ⊃ B)A ⊃ B = (A ∨ B)A ∨ B = A ∨ B ∨ A ∨ B = AB ∨ A ∨ B =

= (A ∨ A)(B ∨ A) ∨ B = B ∨ A ∨ B = 1.

Теперь рассмотрим это рассуждение с точки зрения теории L.

1. A - посылка.

2. A ⊃ B - посылка.

3. B - MP к 1 и 2.

Следовательно, A, A ⊃ B f-- B.

Согласно определению 5.1.2, если формула B получина по правилу

вывода MP из предыдущих, формула B является их логическим

следствием.