4. Теоремы исчисления высказываний

Теорема 5.1.2 (Теорема о дедукции). Пусть A и B - формулы, Γ

- некоторое множество формул теории L. Тогда из Γ, A f-- B следует,

что Γ f-- (A ⊃ B).

Доказательство. Пусть B₁, B₂, ..., B_n = B - вывод B из множества посылок Γ ∪ {A}. Докажем по индукции, что Γ f-- A ⊃ B_i, i = 1, 2, ..., n.

1. Пусть i = 1. B₁ - аксиома, или B₁ ∈ Γ, или B₁ = A.

1. Пусть B₁ - аксиома.

   1. B₁ - аксиома.

   2. B₁ ⊃ (A ⊃ B₁) - аксиома 1.

   3. A ⊃ B₁ - MP из 1 и 2.

Следовательно f-- A ⊃ B₁ ⇒ Γ f-- A ⊃ B₁.

2. Пусть B₁ ∈ Γ.

   1. B₁ - посылка.

   2. B₁ ⊃ (A ⊃ B₁) - аксиома 1.

   3. A ⊃ B₁ - MP из 1 и 2.

Следовательно B₁ f-- A ⊃ B₁ ⇒ Γ f-- A ⊃ B₁.

3. Пусть B₁ = A. По лемме 5.1.1 f-- A ⊃ A = A ⊃ B₁ ⇒ Γ f-- A ⊃ B₁.

2. Пусть для всех l < k верно, что Γ f-- A ⊃ B_l. Докажем, что

Γ f-- A ⊃ B_k. B_k - аксиома, или B_k ∈ Γ, или B_k = A, или B_k получена

по правилу вывода modus ponens. Первые три случая доказываются

аналогично соответствующим пунктам базы индукции.

4. B_k - результат применения MP к формулам B_i и B_j , i, j < k. Тогда,

Γ f-- A ⊃ B_i, Γ f-- A ⊃ B_j и B_j = B_i ⊃ B_k. Построим вывод:

1. (A ⊃ (B_i ⊃ B_k)) ⊃ ((A ⊃ B_i) ⊃ (A ⊃ B_k)) - аксиома 2 (A ← A,

B ← B_i, C ← B_k).

2. (A ⊃ (B_i ⊃ B_k)) - посылка.

3. ((A ⊃ B_i) ⊃ (A ⊃ B_k)) - MP из 2 и 1.

4. (A ⊃ B_i) - посылка.

5. (A ⊃ B_k) - MP из 4 и 3.

Таким образом, (A ⊃ (B_i ⊃ B_k)), (A ⊃ B_i) f-- (A ⊃ B_k). Следовательно,

Γ f-- (A ⊃ B_k). Следовательно, Γ f-- (A ⊃ B).

D

Пример 5.1.3 . С помощью теоремы о дедукции мы могли бы гораздо проще доказать лемму 5.1.1:

1. A - посылка.

2. A ⊃ A - по теореме о дедукции, поскольку A f-- A.

Следствие 5.1.3 . Пусть, A, B и C - некоторые формулы теории L. Тогда A ⊃ B, B ⊃ C f-- A ⊃ C.

Доказательство.

1. A - посылка.

2. A ⊃ B - посылка.

3. B - MP из 1 и 2.

4. B ⊃ C - посылка.

5. C - MP из 3 и 4.

Таким образом, A, A ⊃ B, B ⊃ C f-- C. Следовательно, по теореме о

дедукции A ⊃ B, B ⊃ C f-- A ⊃ C.

D

Следствие 5.1.4 . Пусть, A, B и C - некоторые формулы теории L. Тогда A ⊃ (B ⊃ C), B f-- A ⊃ C.

Доказательство.

1. A - посылка.

2. A ⊃ (B ⊃ C) - посылка.

3. B ⊃ C - MP из 1 и 2.

4. B - посылка.

5. C - MP к 4 и 3.

A, A ⊃ (B ⊃ C), B f-- C. Следовательно, по теореме о дедукции

A ⊃ (B ⊃ C), B f-- A ⊃ C.

D

Лемма 5.1.5 (Список теорем). Пусть A и B - произвольные формулы теории L. Тогда следующие формулы являются теоремами L:

1. ¬¬B ⊃ B - закон отрицания отрицания.

2. B ⊃ ¬¬B - закон отрицания отрицания.

3. ¬A ⊃ (A ⊃ B) - из ложных посылок можно вывести что угодно.

4. (¬B ⊃ ¬A) ⊃ (A ⊃ B) - доказательство от противного.

5. (A ⊃ B) ⊃ (¬B ⊃ ¬A) - доказательство от противного.

6. A ⊃ (¬B ⊃ ¬(A ⊃ B)) - из истинных посылок нельзя вывести

ложное заключение.

7. (A ⊃ B) ⊃ ((¬A ⊃ B) ⊃ B) - если B выводима и из A и из его отрицания, то B истинна независимо от посылок.

Доказательство. Докажем, например, для формул 1 и 3.

1.

1) (¬B ⊃ ¬¬B) ⊃ ((¬B ⊃ ¬B) ⊃ B) - аксиома 3.

2. ¬¬B - посылка.

3. ¬¬B ⊃ (¬B ⊃ ¬¬B) - аксиома 1.

4. ¬B ⊃ ¬¬B - MP из 2 и 3.

5. (¬B ⊃ ¬B) ⊃ B - MP из 4 и 1.

6) ¬B ⊃ ¬B - лемма 5.1.1.

7) B - MP из 6 и 5.

Таким образом ¬¬B f-- B и по теореме о дедукции f-- ¬¬B ⊃ B.

3.

1. A ⊃ (¬B ⊃ A) - аксиома 1.

2. ¬A ⊃ (¬B ⊃ ¬A) - аксиома 1.

3. A - посылка.

4. ¬B ⊃ A - MP из 3 и 1.

5. ¬A - посылка.

6. ¬B ⊃ ¬A - MP из 5 и 2.

7) (¬B ⊃ ¬A) ⊃ ((¬B ⊃ A) ⊃ B) - аксиома 3.

8) ((¬B ⊃ A) ⊃ B) - MP из 6 и 7.

9) B - MP из 4 и 8.

Таким образом A, ¬A f-- B. Тогда по теореме о дедукции, ¬A f-- A ⊃ B

и f-- ¬A ⊃ (A ⊃ B).

Остальные пункты утверждения предлагаются читателю для

самостоятельного доказательства.

D