6. Связь мультимножеств и (0,1)-векторов

Можно привести другое доказательство утверждения 1.5.9, используя связь мультимножеств с (0,1)-векторами. Как мы помним из пункта 1.5.3 каждому (0,1)-вектору из n элементов с ровно k единицами однозначно соответствует некоторое сочетание из n элементов по k.

Каждому мультимножеству мощности k на n-элементном множестве S = {s₁, s₂, ..., s_n} можно поставить в соответствие (0,1)-вектор длины n + k − 1 из k нулей и n − 1 единицы, такой что число нулей, находящихся между i−1-й и i-й единицами, будет равно числу вхождений в мультимножество элемента s_i, 2 ≤ i ≤ n − 1; число нулей перед

первой единицей равно числу вхождений в мультимножество элемента

s₁; число нулей после n − 1-й единицы равно числу вхождений в

мультимножество элемента s_n. Это соответствие между множеством

k

((^S)) и множеством (0,1)-векторов длины n + k − 1 c n − 1-й единицей

является взаимнооднозначным.

Таким образом, каждому (0,1)-вектору длины n + k − 1 с n − 1-й единицей однозначно соответствует сочетание из n + k − 1 по n − 1 и в тоже время ему соответствует мультимножество мощности

k на n-элементном множестве. Следовательно, мы установили взаимнооднозначное соответствие между множеством всех сочетаний из

n + k − 1 по n − 1 и множеством всех мультимножеств мощности k

на n-элементном множестве. Значит, (^n+k−1) = (^n+k−1) = ((ⁿ)), что и

требовалось доказать.

k n−1 k

6. Полином Ньютона

Утверждение 1.5.10 .

m!

(x₁ + x₂ + ... + x_k)^m = ^\ x^α1 x^α2 ...x^αk . (14)

(α₁,...,α_k ),

α₁+α₂+...+α_k =m, α_i∈N₀, i=1,k

α₁!α₂!...α_k! ^{1 2 k}

Доказательство. Докажем по индукции. Для k = 2 утверждение верно в силу формулы бинома Ньютона (8^t). Действительно,

\

(α₁,α₂),

α₁+α₂=n, α₁,α₂∈N₀

n! α₁!α₂!

a^α1 b^α2 = ^\

k∈{0,...,n},

α₁=k, α₂=n−k

_n

a^α1 b^α2 =

α₁

_{n n}

\

k

k=0

a^kb^n−k = (a + b)ⁿ.

Пусть утверждение верно для всех k ≤ K для любых m.

Пусть теперь k = K + 1.

(x₁ + x₂ + ... + x_K + x_K+1)^m = ((x₁ + ... + x_K ) + x_K+1)^m =

по индукционному предположению

= \

α+β=m, α,β∈N₀

m! α!β!

(x₁

+ ... + x_K

) x

=

α ^β K+1

\

₌ m! _xβ ^\

^α! x^α1 x^α2 ...x^αK =

α+β=m, α,β∈N₀

α!β!

K+1

(α₁,...,α_K ), α₁+α₂+...+α_K =α,

α_i∈N₀, i=1,K

α₁!α₂!...α_K ! ^{1 2 K}

\

= ^m! x^α1 x^α2 ...x^αK x^β ,

(α₁,...,α_K ,β), α₁+α₂+...+α_K +β=m,

α_i∈N₀, i=1,K, β∈N₀

α₁!α₂!...α_K !β! ^{1 2}

K K+1

Что и требовалось доказать.

D

α !α !...α !

Благодаря формуле (14) числа ^m!

1 2 k

при α₁ + α₂ + ... + α_k = m,

α_i ∈ N₀, i = 1, k, m ∈ N₀, получили название мультиномиальных

коэффициентов. Обычно их обозначают

_m

.

α₁, α₂, ..., α_k

В этих обозначениях биномиальные коэффициенты имеют вид

_n

=

k

_n

.

k, n − k

Легко доказать следующее свойство мультиномиальных коэффициентов:

Утверждение 1.5.11 . Пусть m ∈ N₀.

\

(α₁,...,α_k ),

α₁+α₂+...+α_k =m, α_i∈N₀, i=1,k

_m

α₁, α₂, ..., α_k

= k^m

Доказательство. Следует из утверждения 1.5.10 при подстановке x_i = 1, i = 1, k.

D