2. Матрица инцидентности

Второй распространенной матрицей ассоциированной с графом является матрица инцидентности. Она определяется как прямоугольная матрица

B(G) размерности |V (G)|×|E(G)|, где строки соответствуют вершинам, а

столбци - ребрам графа. Пусть G = (V, E) - неориентированный граф,

V = {1, 2, ..., n} E = {e₁, e₂, ..., e_m}.

⁽ 1, ∃l : e_j = (i, l) ∈ E(G)

b_i,j (G) =

_{0, иначе} , i = 1, n, j = 1, m. (34)

В каждом столбце матрицы инцидентности ровно 2 единицы. Сумма по i-той строке матрицы инциденции равна степени вершины i.

Сумма всех элементов матрицы инцидентности графа равна удвоенному числу его ребер:

n m

^{\ \} b_i,j (G) = 2|E(G)|.

Пример 4.6.4 .

i=1

j=1

Для обыкновенного графа на рисунке 43 матрица инцидентности может выглядеть следующим образом

^1 1 0 0 0^

^0 1 1 1 0^

B(G) = 0 0 0 1 1

 

 

^0 0 0 0 1^

1 0 1 0 0

Для определения матрицы инцидентности графа Бержа потребуется использовать дополнительное значение −1 для указания, куда заходит

соответствующая дуга.

^ 1, ∃l : e_j = (i, l) ∈ E(G)

b_i,j (G) =  −1, ∃l : e_j = (l, i) ∈ E(G)

, i = 1, n, j = 1, m. (35)

^ 0, иначе

Пример 4.6.5 . Для графа Бержа на рисунке 44 матрица инцидентности будет выглядеть следующим образом

−1	0	0	0
1	−1	1	0
0	0	−1	1
0	0	0	−
0	1	0	0

 ₁ 

 ₀ 







B(G) =  0 

1



_ 0 

−1

Матрицы инцидентности изоморфных графов отличаются друг от друга перестановкой столбцов.

3. Список ребер

Список ребер - это еще один способ представления графа. В этом случае, каждое ребро задается двумя числами - номерами вершин, которые соединяет это ребро. Можно сказать, что это вариант матрицы инцидентности, где номера строк с единицами заданы в явном виде.

7. Обходы графов

1. Эйлеров цикл

Определение 4.7.1 . Эйлеровым циклом в графе G называется цикл, который проходит через все ребра графа ровно по одному разу.

Определение 4.7.2 . Граф G называется эйлеровым графом, если в нем есть эйлеров цикл.

Для проверки графа на эйлеровость есть удобный критерий.

Лемма 4.7.1 . Пусть граф G является эйлеровым графом. Тогда степени всех вершин графа G четны.

Доказательство. Пусть в графе G существует эйлеров цикл C = (v_i1 , (v_i1 , v_i2 ), v_i2 , (v_i2 , v_i3 ), ..., v_il , (v_il , v_i1 ), v_i1 ). В этом цикле присутствуют все ребра графа G причем каждое ровно один раз.

В цикле C проходя некоторую вершину v_ij мы входим и выходим из нее по разным ребрам, что добавляет двойку к степени этой вершины. Значит степень вершины v графа G равна удвоенному числу проходов цикла C через вершину v. Следовательно степень v четна.

D

Теорема 4.7.2 . Пусть G - связный граф. Тогда в графе G существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда степени всех вершин графа G четны.

Доказательство. Необходимость следует из леммы 4.7.1.

Достаточность. Пусть ∀v ∈ V (G): deg_G v - четна. С помощью

двухшагового процесса разобьем все ребра графа на циклы.

1. Начнем с произвольной вершины u ∈ V (G) строить цепь переходя по

любым ребрам от вершины к вершине. Поскольку степени вершин четны,

войдя в некоторую вершину по одному ребру мы обязательно можем из нее выйти по второму. Таким образом мы точно можем обходить вершины, пока не вернемся в исходную вершину u. Так мы построили некоторый цикл P₁ = P₁(u). По лемме 4.7.1, степени всех вершин в P₁(u) четны.

2. Удалим из G все ребра, входящие в цикл P₁(u). Поскольку степени всех вершин в G и P₁(u) четны, то и в графе G−E(P₁(u)) степень каждой

вершины четна.

Дальше мы можем перейти к пункту 1) и искать цикл P₂ в графе

G−E(P₁(u)). Процесс можно повторять до тех пор, пока в графе G−^): P_i

остаются вершины с ненулевой степенью.

Наконец мы получим набор циклов P₁, P₂, ..., P_t:

E(G) = E(P₁) ∪ E(P₂) ∪ ... ∪ E(P_t), E(P_i) ∩ E(P_j ) = ∅, i /= j.

Поскольку граф G связен, эти циклы пересекаются по некоторым вершинам. Рассмотрим какие-нибудь два из этих циклов P_i и P_j , у которых есть общая вершина v. Тогда

P_i = (v, (v, v_s2 ), v_s2 , (v_s2 , v_s3 ), ..., v_sl , (v_sl , v), v),

i

j

P_j = (v, (v, v_r2 ), v_r2 , (v_r2 , v_r3 ), ..., v_rl

i

j

, (v_rl

, v), v).

Объединим эти циклы в точке v и получим новый цикл

P_i,j = (v, (v, v_s2 ), v_s2 , (v_s2 , v_s3 ), ..., v_sl , (v_sl , v), v,

i i

j

(v, v_r2 ), v_r2 , (v_r2 , v_r3 ), ..., v_rl

, (v_rl

, v), v).

j

Продолжим аналогично объединять циклы, пока не получим один общий цикл, включающий все ребра графа, причем каждое ровно один раз.

D