3. Деревья

Определение 4.5.1 . Деревом называется связный граф без циклов.

Граф без циклов называется лесом. Каждая компонента связности леса является деревом.

Теорема 4.5.1 . Пусть G = (V, E), |V | = n, |E| = m. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. G - связный граф без циклов (дерево),

2. G - граф без циклов и m = n − 1,

3. G - связный граф и m = n − 1.

Доказательство. 1)⇒ 2) Необходимо доказать, что m = n−1. Докажем

по индукции. База индукции очевидна: Дерево с 1 вершиной не имеет

ребер и соотношение выполняется.

Пусть соотношение выполняется для любого дерева не более чем с n−1

вершиной. Рассмотрим дерево с n вершинами, n > 1.

Выберем произвольное ребро e = (u, v) ∈ E(G). Рассмотрим граф G − e. Этот граф не может быть связным. Действительно, если бы граф G − e был связным, в нем был бы маршрут между вершинами u и v. Этот

маршрут вместе с ребром e образовывал бы цикл в графе G.

Значит в графе G − e две компоненты связности G₁ и G₂. Обе

они являются связными графами без циклов и для них выполняется

индукционное предположение. Значит m₁ = n₁ − 1, m₂ = n₂ − 1 и для исходного графа G: m = m₁ + m₂ + 1 = n₁ − 1 + n₂ − 1 + 1 = n − 1.

2. )⇒ 3) Пусть граф G не имеет циклов и число ребер на единицу меньше

числа вершин. Докажем, что граф G связный.

Пусть граф G не связен. Пусть G₁, G₂, ..., G_k все компоненты связности G. Тогда каждый граф G_i связный граф без циклов - дерево.

Мы уже доказали утверждение 1)⇒ 2), так что можем этим

пользоваться. Следовательно для каждого из графов G_i верно E(G_i) =

V (G_i) − 1. Таким образом

k

n = ^\ V (G_i),

i=1

k k

m = ^\ E(G_i) = ^\(V (G_i) − 1) = n − k.

i=1

i=1

Но нам известно, что число ребер в графе на единицу меньше числа вершин, то есть k = 1. Следовательно в графе G может быть только одна компонента связности.

2. )⇒ 1) Пусть граф G связный и число ребер на единицу меньше числа

вершин. Докажем, что граф G не имеет циклов.

Пусть в графе G есть циклы. Рассмотрим произвольное ребро e₁, которое принадлежит какому-то циклу графа G. Граф G − e₁ связен,

поскольку между любыми двумя вершинами в цикле существовало как минимум две цепи.

Можем повторять процесс удаления ребер до тех пор, пока в графе

G − e₁ − e₂ − ... − e_i остаются циклы.

Рассмотрим граф F = G − e₁ − e₂ − ... − e_s, полученный после

размыкания всех циклов графа G. Граф F связный и в нем нет циклов. Еще раз воспользуемся доказанным переходом 1)⇒ 2):

E(F ) = V (F ) − 1 = V (G) − 1 = E(G),

то есть после удаления s ребер число ребер в графе не изменилось. Противоречие вызвано предположением, что в графе G есть циклы. Следовательно, циклов нет, что и требовалось доказать.

D