3. Операции

1. Основные операции над графами

Существует множество операций над графами и разные авторы определяют операции, которые им нужны. Рассмотрим несколько основных операций для примера.

1. Добавление вершины: G₁ = G + v. V (G₁) = V (G) ∪ {v}, E(G₁) = E(G).

2. Добавление ребра: G₁ = G + e.

V (G₁) = V (G), E(G₁) = E(G) ∪ {e}. Операция применима, если

e = (v, u) и u, v ∈ V (G).

3. Удаление ребра: G₁ = G − e.

V (G₁) = V (G), E(G₁) = E(G) \ {e}. Операция применима, если

e ∈ E(G).

4. Удаление вершины: G₁ = G − v.

V (G₁) = V (G) \ {v}, E(G₁) = {e | e ∈ E(G), / ∃u ∈ V (G) : e = (v, u)}.

5. Объединение графов: G₃ = G₁ ∪ G₂.

V (G₃) = V (G₁) ∪ V (G₂), E(G₃) = E(G₁) ∪ E(G₂).

Как видно из определения, если V (G₁) ∩ V (G₂) = ∅ и

E(G₁) ∩ E(G₂) = ∅, изображение графа G₃ можно получить просто

нарисовав рядом графы G₁ и G₂.

6. Произведение графов: G₃ = G₁ × G₂.

V (G₃) = V (G₁) × V (G₂), E(G₃) = {((u₁, u₂), (v₁, v₂)) | u₁, v₁ ∈

V (G₁), u₂, v₂ ∈ V (G₂), (u₁ = v₁ и (u₂, v₂) ∈ E(G₂)) или (u₂ =

v₂ и (u₁, v₁) ∈ E(G₁))}.

Пример произведения графов можно увидеть на рисунке 41.

2. Подграфы

Определение 4.3.1 . Рассмотрим граф G = (V, E, P ). Пусть V ^t ⊆ V , E^t ⊆ E, а P ^t - предикат, индуцированный (полученный сужением) инцидентором P на подмножествах V ^t и E^t. Если V ^t и E^t выбраны так, что G^t = (V ^t, E^t, P ^t) удовлетворяет определению графа, то G^t

называется частью графа G.

Рисунок 41: Произведение графов

Определение 4.3.2 . Часть G^t = (V, E^t, P ^t) графа G = (V, E, P )

называется суграфом.

Определение 4.3.3 . Часть G^t = (V ^t, E^t, P ^t) графа G = (V, E, P )

называется подграфом, если (∀v, w ∈ V ^t)(∀e ∈ E)[P (v, e, w) ⇒ e ∈ E^t]

Приведем более удобные определения для случая обыкновенного графа G = (V, E).

Определение 4.3.4 . Граф G₁ = (V₁, E₁) называется подграфом графа

G = (V, E), если V₁ ⊆ V и E₁ = {e | e = (u, v) ∈ E, u, v ∈ V₁}.

Такой подграф иногда называют подграфом порожденным

множеством вершин V₁, поскольку он включает все ребра графа

G, которые соединяют вершины из V₁.

Определение 4.3.5 . Граф G₁ = (V₁, E₁) называется частью графа

G = (V, E), если V₁ ⊆ V и E₁ ⊆ {e | e = (u, v) ∈ E, u, v ∈ V₁}.

Определение 4.3.6 . Граф G₁ = (V, E₁) называется суграфом графа

G = (V, E), если E₁ ⊆ E.

Можно сказать, что чтобы получить суграф, нужно удалить из графа часть ребер. Чтобы получить порожденный подграф, нужно удалить из графа часть вершин и каждое ребро, хотябы один концец которого был удален. Чтобы получить часть графа, нужно взять суграф от порожденного подграфа графа.

Примером задачи, связанной с подграфами, является поиск наибольшей клики графа (рис. 42).

Определение 4.3.7 . Кликой графа называется максимальный по включению вершин полный подграф графа.

Таким образом, поиск наибольшей клики графа то же, что и поиск наибольшего полного подграфа графа.

Рисунок 42: Наибольшей клика графа

Неизвестно эффективного алгоритма, решающего	эту	задачу.
Переформулируем эту задачу переформулировать	в	форме

распознавания: Дан граф G и b ∈ R₊. Ответить на вопрос существует

ли в этом графе полный подграф размера b? Эта задача является

N P -полной задачей. Доказательство N P -полноты задачи о клике будет рассмотрено позже, в параграфе 4.9.