5. Лексикографический порядок

Заслуживающим отдельного упоминания является лексикографический порядок. Лексикографический порядок - это порядок, в котором выстроены слова, например, в русско-английских словарях. Лексикографический порядок может быть введен на множестве слов над любым множеством, на котором уже введен линейный порядок.

Пусть на множестве X введен строгий линейный порядок ≺. Введем

отношение ≺_lex на множестве X^∗ = {(x₁, x₂, ..., x_k) | k ∈ N, x_i ∈ X} всех

x_k = (x₁, ..., x_k) ∈ X^∗, y_l = (y₁, ..., y_l) ∈

x_k /= y_l и k ≤ l.

^xk ^≺lex ^yl

Будем говорить, что

, если 1) существует такой индекс t,

1 ≤ t ≤ k, что x_i = y_i, i = 1, t − 1 и x_t ≺ y_t, или 2) k < l и x_i = y_i, i = 1, k.

^yl ^≺lex ^xk

В противном случае .

Замечание 1.4.3 . На множестве слов одинаковой длины определение лексикографического порядка упростилось бы и приняло бы вид:

^xk ^≺lex ^yk

i i t t

⇔ ∃t ∈ {1, ..., k} : x

= y , i = 1, t − 1, x

≺ y .

Пример 1.4.9 . Выпишем все возможные перестановки чисел {1, 2, 3, 4} выстроенные в лексикографическом порядке:

1 2 3 4	2 1 3 4	3 1 2 4	4 1 2 3
1 2 4 3	2 1 4 3	3 1 4 2	4 1 3 2
1 3 2 4	2 3 1 4	3 2 1 4	4 2 1 3
1 3 4 2	2 3 4 1	3 2 4 1	4 2 3 1
1 4 2 3	2 4 1 3	3 4 1 2	4 3 1 2
1 4 3 2	2 4 3 1	3 4 2 1	4 3 2 1

Заметим, что здесь мы привели только перестановки - последовательности из различных символов. Если мы захотим выписать все слова в данном алфавите, их окажется гораздо больше.

Подробнее о перестановках смотри раздел 1.6.

Отметим также, что существует еще так называемый антилексикографический порядок. Он не является обратным лексикографическому порядку бинарным отношением. Список всех перестановок n чисел в антилексикографическом порядке может быть получен следующим образом: сначала нужно выстроить все такие перестановки в лексикографическом порядке, а затем развернуть список в обратном порядке и развернуть каждое слово, описывающее перестановку. Такой порядок может быть полезен, например, для словаря окончаний.

Используя те же обозначения и договоренности, что и при введении лексикографического порядка, антилексикографический порядок можно определить следующим образом:

^yl ^≺alex

^xk

Будем говорить, что

, если 1) существует такой индекс t,

1 ≤ t ≤ k, что x_k−i+1 = y_l−i+1, i = 1, t − 1 и x_k−t+1 ≺ y_l−t+1, или 2) k < l

^yl ^≺alex ^xk

и x_k−i+1 = y_l−i+1, i = 1, k. В противном случае .

Замечание 1.4.4 . На множестве слов одинаковой длины определение приняло бы следующий вид:

^xk ^≺alex ^yk

i i t t

⇔ ∃t ∈ {1, ..., k} : x

= y , i = t + 1, k, y

≺ x .

Пример 1.4.10 . Приведем все возможные перестановки чисел {1, 2, 3, 4} выстроенные в антилексикографическом порядке:

1 2 3 4	1 2 4 3	1 3 4 2	2 3 4 1
2 1 3 4	2 1 4 3	3 1 4 2	3 2 4 1
1 3 2 4	1 4 2 3	1 4 3 2	2 4 3 1
3 1 2 4	4 1 2 3	4 1 3 2	4 2 3 1
2 3 1 4	2 4 1 3	3 4 1 2	3 4 2 1
3 2 1 4	4 2 1 3	4 3 1 2	4 3 2 1

Лексикографический и антилексикографический порядки являются отношениями строгого линейного порядка.