4. Тип перестановки

Определение 1.6.7 . Пусть c_i = c_i(π) - число циклов длины i

перестановки π. Тогда (c₁, c₂, ..., c_n) - тип перестановки π.

Обозначим

σ_n(c₁, c₂, ..., c_n) = {π | π ∈ σ_n, (c₁, c₂, ..., c_n) - тип π}. Замечание 1.6.7 . c(π) = c₁(π) + · · · + c_n(π) - число циклов перестановки и

n

n = ^\ i · c_i(π).

i=1

Пример 1.6.5 . Тип перестановки из примера 1.6.2 - (2, 1, 1, 0, 0, 0, 0).

Тип перестановки из примера 1.6.3 - (1, 1, 0, 1, 0, 0, 0).

Утверждение 1.6.4 .

|σ_n(c₁, c₂, ..., c_n)| =

c₁!c₂

! · · · c_n

n!

!1^c1 2^c2 · · · n^cn

Доказательство. По утверждению 1.5.13 множество {1, ..., n} можно

разбить на подмножества, среди которых ровоно c_i подмножеств

имеют мощность i,

n! c₁!c₂!···c_n!(1!)^c1 (2!)^c2 ···(n!)^cn

способами. Чтобы получить

перестановку из любого неупорядоченного разбиения, нужно расставить

элеметы каждого подмножества в определенном порядке, чтобы определить циклы.

Сколько циклов можно получить из одного подмножества мощности i? Элементы множества можно расставить в различном порядке i! способами. Это число надо разделить на количество вариантов выбора начальный точки цикла - i. Таким образом из данного

i

подмножества можно составить ^i!

различных циклов. Домножим число

неупорядоченных разбиений на число вариантов создания циклов из подмножеств. Получим:

n! c₁!c₂! · · · c_n!(1!)^c1 (2!)^c2 · · · (n!)^{cn ·}

(1!)^c1 (2!)^c2 · · · (n!)^cn 1^c1 2^c2 · · · n^cn

=

n!

= ,

что и требовалось доказать.

D

c₁!c₂! · · · c_n!1^c1 2^c2 · · · n^cn

=

Пример 1.6.6 . Пусть задан тип перестановки (0, 2, 1, 0, 0, 0, 0). Согласно утверждению 1.6.4 число перестановок такого типа должно

быть

7!

0!2!1!0!0!0!0!1⁰2²3¹4⁰5⁰6⁰7⁰

^7! = 7 · 6 · 5 = 210, где 24 - число

24

перестановок, из которых можно получить одну и ту же перестановку

типа (0, 2, 1, 0, 0, 0, 0).

Рассмотрим, например, перестановку (1, 2)(3, 4)(5, 6, 7). Из каких перестановок она может быть получена добавлением скобок? Перечислим такие перестановки:

1) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), 13) (3, 4, 1, 2, 5, 6, 7),

2) (2, 1, 3, 4, 5, 6, 7), 14) (3, 4, 2, 1, 5, 6, 7),

3) (1, 2, 4, 3, 5, 6, 7), 15) (4, 3, 1, 2, 5, 6, 7),

4) (2, 1, 4, 3, 5, 6, 7), 16) (4, 3, 2, 1, 5, 6, 7),

5) (1, 2, 3, 4, 6, 7, 5), 17) (3, 4, 1, 2, 6, 7, 5),

6) (2, 1, 3, 4, 6, 7, 5), 18) (3, 4, 2, 1, 6, 7, 5),

7) (1, 2, 4, 3, 6, 7, 5), 19) (4, 3, 1, 2, 6, 7, 5),

8) (2, 1, 4, 3, 6, 7, 5), 20) (4, 3, 2, 1, 6, 7, 5),

9) (1, 2, 3, 4, 7, 5, 6), 21) (3, 4, 1, 2, 7, 5, 6),

10) (2, 1, 3, 4, 7, 5, 6), 22) (3, 4, 2, 1, 7, 5, 6),

11) (1, 2, 4, 3, 7, 5, 6), 23) (4, 3, 1, 2, 7, 5, 6),

12) (2, 1, 4, 3, 7, 5, 6), 24) (4, 3, 2, 1, 7, 5, 6).